MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1fveq Structured version   Unicode version

Theorem f1fveq 6010
Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1fveq  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )

Proof of Theorem f1fveq
StepHypRef Expression
1 f1veqaeq 6007 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  ->  C  =  D )
)
2 fveq2 5730 . 2  |-  ( C  =  D  ->  ( F `  C )  =  ( F `  D ) )
31, 2impbid1 196 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( C  e.  A  /\  D  e.  A
) )  ->  (
( F `  C
)  =  ( F `
 D )  <->  C  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   -1-1->wf1 5453   ` cfv 5456
This theorem is referenced by:  f1elima  6011  cocan1  6026  isosolem  6069  f1oiso  6073  f1oweALT  6076  weniso  6077  2dom  7181  xpdom2  7205  wemapwe  7656  fseqenlem1  7907  dfac12lem2  8026  infpssrlem4  8188  fin23lem28  8222  isf32lem7  8241  iundom2g  8417  canthnumlem  8525  canthwelem  8527  canthp1lem2  8530  pwfseqlem4  8539  seqf1olem1  11364  bitsinv2  12957  bitsf1  12960  sadasslem  12984  sadeq  12986  bitsuz  12988  eulerthlem2  13173  f1ocpbllem  13751  f1ovscpbl  13753  fthi  14117  ghmf1  15036  odf1  15200  dprdf1o  15592  ply1scln0  16684  zntoslem  16839  iporthcom  16868  cnt0  17412  cnhaus  17420  imasdsf1olem  18405  imasf1oxmet  18407  dyadmbl  19494  vitalilem3  19504  dvcnvlem  19862  facth1  20089  usgraidx2v  21414  wlkdvspthlem  21609  cyclnspth  21620  usgrcyclnl2  21630  erdszelem9  24887  cvmliftmolem1  24970  metf1o  26463  rngoisocnv  26599  gicabl  27242  f1omvdmvd  27365  laut11  30945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fv 5464
  Copyright terms: Public domain W3C validator