Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1lindf Structured version   Unicode version

Theorem f1lindf 27283
Description: Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1lindf  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )

Proof of Theorem f1lindf
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 27276 . . . . . 6  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
433adant3 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
5 f1f 5642 . . . . 5  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G : K --> dom  F
)
653ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K --> dom  F )
7 fco 5603 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F --> ( Base `  W )  /\  G : K --> dom  F
)  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )
)
84, 6, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W
) )
9 ffdm 5608 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  (
( F  o.  G
) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  dom  ( F  o.  G )  C_  K
) )
109simpld 447 . . 3  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
118, 10syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
12 simpl2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
136adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G : K --> dom  F )
14 fdm 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
158, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
1615eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
x  e.  dom  ( F  o.  G )  <->  x  e.  K ) )
1716biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  x  e.  K
)
1813, 17ffvelrnd 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
1918adantrr 699 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
20 eldifi 3471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
2120ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
22 eldifsni 3930 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
2322ad2antll 711 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
24 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
25 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
26 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
27 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
28 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2924, 25, 26, 27, 28lindfind 27277 . . . . 5  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  ( G `  x )  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  ( G `
 x ) ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
3012, 19, 21, 23, 29syl22anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
31 f1fn 5643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G  Fn  K )
32313ad2ant3 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  Fn  K )
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G  Fn  K
)
34 fvco2 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
3533, 17, 34syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
3635oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `  x
) )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3736eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) ) )
38 simpl1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
39 imassrn 5219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ran  F
40 frn 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
414, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
4239, 41syl5ss 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W ) )
4342adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )
)
44 imaco 5378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( F
" ( G "
( dom  ( F  o.  G )  \  {
x } ) ) )
4515difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } )  =  ( K  \  { x } ) )
4645imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( G
" ( K  \  { x } ) ) )
47 df-f1 5462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  <->  ( G : K --> dom  F  /\  Fun  `' G ) )
4847simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  Fun  `' G )
49483ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  Fun  `' G )
50 imadif 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' G  ->  ( G
" ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5246, 51eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
54 fnsnfv 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5532, 54sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5655difeq2d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
57 imassrn 5219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G
" K )  C_  ran  G
586adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  G : K --> dom  F
)
59 frn 5600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K --> dom  F  ->  ran  G  C_  dom  F )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ran  G  C_  dom  F )
6157, 60syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " K
)  C_  dom  F )
6261ssdifd 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
6356, 62eqsstr3d 3385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) )  C_  ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )
6453, 63eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
65 imass2 5243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } )  -> 
( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6744, 66syl5eqss 3394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
681, 25lspss 16065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
6938, 43, 67, 68syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  (
( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7017, 69syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7170sseld 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( F `  ( G `  x )
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7237, 71sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7372adantrr 699 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7430, 73mtod 171 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) )
7574ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) )
76 simp1 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  W  e.  LMod )
77 rellindf 27269 . . . . . 6  |-  Rel LIndF
7877brrelexi 4921 . . . . 5  |-  ( F LIndF 
W  ->  F  e.  _V )
79783ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F  e.  _V )
80 simp3 960 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K -1-1-> dom  F )
81 dmexg 5133 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
8279, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  F  e.  _V )
83 f1dmex 5974 . . . . . 6  |-  ( ( G : K -1-1-> dom  F  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  K  e.  _V )
8480, 82, 83syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  K  e.  _V )
85 fex 5972 . . . . 5  |-  ( ( G : K --> dom  F  /\  K  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
866, 84, 85syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  e.  _V )
87 coexg 5415 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  o.  G
)  e.  _V )
8879, 86, 87syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G )  e.  _V )
891, 24, 25, 26, 28, 27islindf 27273 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F  o.  G )  e.  _V )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9076, 88, 89syl2anc 644 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9111, 75, 90mpbir2and 890 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884    o. ccom 4885   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728   LModclmod 15955   LSpanclspn 16052   LIndF clindf 27265
This theorem is referenced by:  lindfres  27284  f1linds  27286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-riota 6552  df-slot 13478  df-base 13479  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lindf 27267
  Copyright terms: Public domain W3C validator