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Theorem f1lindf 27395
Description: Rearranging and deleting elements from an independent family gives an independent family. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1lindf  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )

Proof of Theorem f1lindf
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 27388 . . . . . 6  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
433adant3 975 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
5 f1f 5453 . . . . 5  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G : K --> dom  F
)
653ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K --> dom  F )
7 fco 5414 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F --> ( Base `  W )  /\  G : K --> dom  F
)  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )
)
84, 6, 7syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W
) )
9 ffdm 5419 . . . 4  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  (
( F  o.  G
) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  dom  ( F  o.  G )  C_  K
) )
109simpld 445 . . 3  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
118, 10syl 15 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W ) )
12 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
136adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G : K --> dom  F )
14 fdm 5409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G ) : K --> ( Base `  W )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
158, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  ( F  o.  G
)  =  K )
1615eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
x  e.  dom  ( F  o.  G )  <->  x  e.  K ) )
1716biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  x  e.  K
)
18 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( G : K --> dom  F  /\  x  e.  K
)  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
1913, 17, 18syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
2019adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  dom  F )
21 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
2221ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
23 eldifsni 3763 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
2423ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
25 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
26 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
28 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
29 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
3025, 26, 27, 28, 29lindfind 27389 . . . . 5  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  ( G `  x )  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  ( G `
 x ) ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
3112, 20, 22, 24, 30syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
32 f1fn 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  G  Fn  K )
33323ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  Fn  K )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  G  Fn  K
)
35 fvco2 5610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x
)  =  ( F `
 ( G `  x ) ) )
3634, 17, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  x )  =  ( F `  ( G `
 x ) ) )
3736oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `  x
) )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3837eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) ) )
39 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  W  e.  LMod )
40 imassrn 5041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ran  F
41 frn 5411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
424, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
4340, 42syl5ss 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )
)
45 imaco 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  G )
" ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( F
" ( G "
( dom  ( F  o.  G )  \  {
x } ) ) )
4615difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } )  =  ( K  \  { x } ) )
4746imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( G
" ( K  \  { x } ) ) )
48 df-f1 5276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  <->  ( G : K --> dom  F  /\  Fun  `' G ) )
4948simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K -1-1-> dom  F  ->  Fun  `' G )
50493ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  Fun  `' G )
51 imadif 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  `' G  ->  ( G
" ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5250, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( K  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5347, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) )  =  ( ( G " K ) 
\  ( G " { x } ) ) )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
55 fnsnfv 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  Fn  K  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5633, 55sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  { ( G `  x ) }  =  ( G " { x } ) )
5756difeq2d 3307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  =  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) ) )
58 imassrn 5041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G
" K )  C_  ran  G
596adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  G : K --> dom  F
)
60 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : K --> dom  F  ->  ran  G  C_  dom  F )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ran  G  C_  dom  F )
6258, 61syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " K
)  C_  dom  F )
63 ssdif 3324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G " K ) 
C_  dom  F  ->  ( ( G " K
)  \  { ( G `  x ) } )  C_  ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  {
( G `  x
) } )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
6557, 64eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( G " K )  \  ( G " { x }
) )  C_  ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )
6654, 65eqsstrd 3225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } ) )
67 imass2 5065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( dom  F  \  {
( G `  x
) } )  -> 
( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( F " ( G " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
6945, 68syl5eqss 3235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )
701, 26lspss 15757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { ( G `  x ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7139, 44, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  K )  ->  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  C_  (
( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7217, 71syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) 
C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) )
7372sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( F `  ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) )  ->  ( k ( .s `  W ) ( F `  ( G `  x )
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7438, 73sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  x  e.  dom  ( F  o.  G ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7574adantrr 697 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) )  ->  (
k ( .s `  W ) ( F `
 ( G `  x ) ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom  F  \  { ( G `  x ) } ) ) ) ) )
7631, 75mtod 168 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom  F )  /\  ( x  e.  dom  ( F  o.  G
)  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) )
7776ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( ( F  o.  G ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  (
( F  o.  G
) " ( dom  ( F  o.  G
)  \  { x } ) ) ) )
78 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  W  e.  LMod )
79 rellindf 27381 . . . . . 6  |-  Rel LIndF
8079brrelexi 4745 . . . . 5  |-  ( F LIndF 
W  ->  F  e.  _V )
81803ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  F  e.  _V )
82 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G : K -1-1-> dom  F )
83 dmexg 4955 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
8481, 83syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  dom  F  e.  _V )
85 f1dmex 5767 . . . . . 6  |-  ( ( G : K -1-1-> dom  F  /\  dom  F  e. 
_V )  ->  K  e.  _V )
8682, 84, 85syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  K  e.  _V )
87 fex 5765 . . . . 5  |-  ( ( G : K --> dom  F  /\  K  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
886, 86, 87syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  G  e.  _V )
89 coexg 5231 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  o.  G
)  e.  _V )
9081, 88, 89syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G )  e.  _V )
911, 25, 26, 27, 29, 28islindf 27385 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F  o.  G )  e.  _V )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9278, 90, 91syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  (
( F  o.  G
) LIndF  W  <->  ( ( F  o.  G ) : dom  ( F  o.  G ) --> ( Base `  W )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) ( ( F  o.  G ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  o.  G ) " ( dom  ( F  o.  G )  \  { x } ) ) ) ) ) )
9311, 77, 92mpbir2and 888 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W  /\  G : K -1-1-> dom 
F )  ->  ( F  o.  G ) LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LIndF clindf 27377
This theorem is referenced by:  lindfres  27396  f1linds  27398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-slot 13168  df-base 13169  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lindf 27379
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