Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1linds Structured version   Unicode version

Theorem f1linds 27274
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 5641 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D --> S )
2 fcoi2 5620 . . . 4  |-  ( F : D --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
433ad2ant3 981 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
5 simp1 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  W  e.  LMod )
6 linds2 27260 . . . 4  |-  ( S  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
763ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
8 dmresi 5198 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  S )  =  S
9 f1eq3 5638 . . . . . 6  |-  ( dom  (  _I  |`  S )  =  S  ->  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S )
1110biimpri 199 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
12113ad2ant3 981 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
13 f1lindf 27271 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  S ) LIndF  W  /\  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
145, 7, 12, 13syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
154, 14eqbrtrrd 4236 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    _I cid 4495   dom cdm 4880    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   ` cfv 5456   LModclmod 15952   LIndF clindf 27253  LIndSclinds 27254
This theorem is referenced by:  islindf3  27275  lindsmm  27277  lbslcic  27290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-riota 6551  df-slot 13475  df-base 13476  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lindf 27255  df-linds 27256
  Copyright terms: Public domain W3C validator