Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1linds Unicode version

Theorem f1linds 27398
Description: A family constructed from non-repeated elements of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1linds  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )

Proof of Theorem f1linds
StepHypRef Expression
1 f1f 5453 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D --> S )
2 fcoi2 5432 . . . 4  |-  ( F : D --> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> S  -> 
( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
433ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F )  =  F )
5 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  W  e.  LMod )
6 linds2 27384 . . . 4  |-  ( S  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
763ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  (  _I  |`  S ) LIndF  W )
8 dmresi 5021 . . . . . 6  |-  dom  (  _I  |`  S )  =  S
9 f1eq3 5450 . . . . . 6  |-  ( dom  (  _I  |`  S )  =  S  ->  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S ) )
108, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S )  <->  F : D -1-1-> S )
1110biimpri 197 . . . 4  |-  ( F : D -1-1-> S  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
12113ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )
13 f1lindf 27395 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  S ) LIndF  W  /\  F : D -1-1-> dom  (  _I  |`  S ) )  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
145, 7, 12, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  ( (  _I  |`  S )  o.  F ) LIndF  W )
154, 14eqbrtrrd 4061 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  S  e.  (LIndS `  W )  /\  F : D -1-1-> S
)  ->  F LIndF  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    _I cid 4320   dom cdm 4705    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271   LModclmod 15643   LIndF clindf 27377  LIndSclinds 27378
This theorem is referenced by:  islindf3  27399  lindsmm  27401  lbslcic  27414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-slot 13168  df-base 13169  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lindf 27379  df-linds 27380
  Copyright terms: Public domain W3C validator