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Theorem f1mpt 5785
Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1mpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1mpt.2  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
f1mpt  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    y, F
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)    F( x)

Proof of Theorem f1mpt
StepHypRef Expression
1 f1mpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 nfmpt1 4109 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
31, 2nfcxfr 2416 . . 3  |-  F/_ x F
4 nfcv 2419 . . 3  |-  F/_ y F
53, 4dff13f 5784 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
61fmpt 5681 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
76anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8 f1mpt.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
98eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
109cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  A. y  e.  A  D  e.  B )
11 raaanv 3562 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B ) )
121fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  x
)  =  C )
138, 1fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  y
)  =  D )
1412, 13eqeqan12d 2298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1514an4s 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1615imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
1716ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) ) )
1817ralimdva 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
19 ralbi 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2018, 19syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
2120ralimia 2616 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
22 ralbi 2679 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2411, 23sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2510, 24sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  C  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2625anidms 626 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2726pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
287, 27bitr3i 242 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
295, 28bitri 240 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  ismon2  13637  isepi2  13644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fv 5263
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