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Theorem f1mpt 6008
Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1mpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1mpt.2  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
f1mpt  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    y, C    x, D    y, F
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)    F( x)

Proof of Theorem f1mpt
StepHypRef Expression
1 f1mpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 nfmpt1 4299 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
31, 2nfcxfr 2570 . . 3  |-  F/_ x F
4 nfcv 2573 . . 3  |-  F/_ y F
53, 4dff13f 6007 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
61fmpt 5891 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
76anbi1i 678 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8 f1mpt.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
98eleq1d 2503 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
109cbvralv 2933 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  A. y  e.  A  D  e.  B )
11 raaanv 3737 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B ) )
121fvmpt2 5813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  x
)  =  C )
138, 1fvmptg 5805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  y
)  =  D )
1412, 13eqeqan12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1514an4s 801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1615imbi1d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
1716ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) ) )
1817ralimdva 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
19 ralbi 2843 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2018, 19syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
2120ralimia 2780 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
22 ralbi 2843 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2411, 23sylbir 206 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2510, 24sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  C  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2625anidms 628 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2726pm5.32i 620 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
285, 7, 273bitr2i 266 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    e. cmpt 4267   -->wf 5451   -1-1->wf1 5452   ` cfv 5455
This theorem is referenced by:  ismon2  13961  isepi2  13968  usgraidx2v  21413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fv 5463
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