MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvdm Unicode version

Theorem f1ocnvdm 5812
Description: The value of the converse of a one-to-one onto function belongs to its domain. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvdm  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)

Proof of Theorem f1ocnvdm
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5501 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
2 f1of 5488 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
4 ffvelrn 5679 . 2  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)
53, 4sylan 457 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( `' F `  C )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   `'ccnv 4704   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  f1oiso2  5865  f1ocnvfv3  6356  uzrdglem  11036  uzrdgsuci  11039  fzennn  11046  cardfz  11048  fzfi  11050  iunmbl2  18930  cnvbraval  22706  cnvbracl  22707  mndpluscn  23314  axcontlem10  24673  ismtycnv  26629  rngoisocnv  26715  rmxyelxp  27100  constr3trllem1  28396  lautcnvclN  30899  lautcnvle  30900  lautcvr  30903  lautj  30904  lautm  30905  ltrncnvatb  30949  diacnvclN  31863  dihcnvcl  32083  dihlspsnat  32145  dihglblem6  32152  dochocss  32178  dochnoncon  32203  mapdcnvcl  32464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator