MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 Unicode version

Theorem f1ocnvfv1 6005
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5695 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
21fveq1d 5721 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( `' F  o.  F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  A ) `  C
) )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  A ) `  C ) )
4 f1of 5665 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
5 fvco3 5791 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
64, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( `' F  o.  F ) `  C
)  =  ( `' F `  ( F `
 C ) ) )
7 fvresi 5915 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
87adantl 453 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( (  _I  |`  A ) `
 C )  =  C )
93, 6, 83eqtr3d 2475 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A )  ->  ( `' F `  ( F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    _I cid 4485   `'ccnv 4868    |` cres 4871    o. ccom 4873   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  6007  wemapwe  7643  fseqenlem2  7895  acndom  7921  isf34lem5  8247  axcc3  8307  pwfseqlem1  8522  hashdom  11641  fz1isolem  11698  cnrecnv  11958  sadcadd  12958  sadadd2  12960  invinv  13983  catcisolem  14249  srngnvl  15932  2ndcdisj  17507  cnheiborlem  18967  iunmbl2  19439  dvcnvlem  19848  eff1olem  20438  logef  20464  nbgraf1olem5  21443  adjbdlnb  23575  cnvbrabra  23603  tpr2rico  24298  lautj  30729  lautm  30730  ldilcnv  30751  ltrneq2  30784  trlcnv  30801  diaocN  31762  dihcnvid1  31909  dochocss  32003  mapdcnvid1N  32291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator