MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv2 Structured version   Unicode version

Theorem f1ocnvfv2 6017
Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2
StepHypRef Expression
1 f1ococnv2 5704 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  B )
)
21fveq1d 5732 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( ( F  o.  `' F
) `  C )  =  ( (  _I  |`  B ) `  C
) )
32adantr 453 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  C ) )
4 f1ocnv 5689 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
5 f1of 5676 . . . 4  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B --> A )
7 fvco3 5802 . . 3  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
86, 7sylan 459 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( ( F  o.  `' F ) `  C
)  =  ( F `
 ( `' F `  C ) ) )
9 fvresi 5926 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
109adantl 454 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 C )  =  C )
113, 8, 103eqtr3d 2478 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  C ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    _I cid 4495   `'ccnv 4879    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456
This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  6019  fveqf1o  6031  isocnv  6052  f1oiso2  6074  weniso  6077  ordiso2  7486  cantnfle  7628  cantnfp1lem3  7638  cantnflem1b  7644  cantnflem1d  7646  cantnflem1  7647  cnfcom2lem  7660  cnfcom2  7661  cnfcom3lem  7662  acndom2  7937  iunfictbso  7997  ttukeylem7  8397  fpwwe2lem6  8512  fpwwe2lem7  8513  uzrdglem  11299  uzrdgsuci  11302  fzennn  11309  axdc4uzlem  11323  seqf1olem1  11364  seqf1olem2  11365  hashfz1  11632  seqcoll  11714  seqcoll2  11715  summolem3  12510  summolem2a  12511  ackbijnn  12609  sadcaddlem  12971  sadaddlem  12980  sadasslem  12984  sadeq  12986  phimullem  13170  eulerthlem2  13173  catcisolem  14263  ghmf1o  15037  gsumval3eu  15515  gsumval3  15516  lmhmf1o  16124  fidomndrnglem  16368  basqtop  17745  tgqtop  17746  ordthmeolem  17835  symgtgp  18133  imasf1obl  18520  xrhmeo  18973  ovoliunlem2  19401  vitalilem2  19503  dvcnvlem  19862  dvcnv  19863  dvcnvre  19905  efif1olem4  20449  eff1olem  20452  eflog  20476  dvrelog  20530  dvlog  20544  asinrebnd  20743  sqff1o  20967  lgsqrlem4  21130  nbgracnvfv  21452  cusgrares  21483  constr3trllem5  21643  cusconngra  21665  cnvunop  23423  unopadj  23424  bracnvbra  23618  mndpluscn  24314  cvmfolem  24968  cvmliftlem6  24979  prodmolem3  25261  prodmolem2a  25262  axcontlem10  25914  f1ocan1fv  26430  ismtycnv  26513  ismtyima  26514  ismtybndlem  26517  rngoisocnv  26599  rmxyval  26980  f1omvdconj  27368  usgra2adedgspthlem1  28339  usgra2adedglem1  28344  wlkiswwlk2lem4  28364  2pthfrgra  28463  lautcnvle  30948  lautcvr  30951  lautj  30952  lautm  30953  ltrncnvatb  30997  ltrncnvel  31001  ltrncnv  31005  ltrneq2  31007  cdlemg17h  31527  diainN  31917  diasslssN  31919  doca3N  31987  dihcnvid2  32133  dochocss  32226  mapdcnvid2  32517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464
  Copyright terms: Public domain W3C validator