MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Structured version   Unicode version

Theorem f1oco 5690
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5453 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C ) )
2 df-f1o 5453 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
3 f1co 5640 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-> C )
4 foco 5655 . . . . 5  |-  ( ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -onto-> C )
53, 4anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
65an4s 800 . . 3  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C )  /\  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
71, 2, 6syl2anb 466 . 2  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  (
( F  o.  G
) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G
) : A -onto-> C
) )
8 df-f1o 5453 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C  <->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
97, 8sylibr 204 1  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    o. ccom 4874   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445
This theorem is referenced by:  fveqf1o  6021  isotr  6048  ener  7146  omf1o  7203  oef1o  7647  cnfcom3  7653  infxpenc  7891  ackbij2lem2  8112  canthp1lem2  8520  pwfseqlem5  8530  hashfacen  11695  summolem3  12500  fsumf1o  12509  ackbijnn  12599  eulerthlem2  13163  symgcl  15093  gsumval3eu  15505  gsumval3  15506  resinf1o  20430  counop  23416  derangenlem  24849  subfacp1lem5  24862  prodmolem3  25251  fprodf1o  25264  rngoisoco  26589  enfixsn  27225  pmtrfconj  27375  lautco  30831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator