MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Unicode version

Theorem f1oco 5496
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5262 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C ) )
2 df-f1o 5262 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
3 f1co 5446 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-> C )
4 foco 5461 . . . . 5  |-  ( ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -onto-> C )
53, 4anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
65an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C )  /\  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
71, 2, 6syl2anb 465 . 2  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  (
( F  o.  G
) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G
) : A -onto-> C
) )
8 df-f1o 5262 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C  <->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
97, 8sylibr 203 1  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    o. ccom 4693   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  fveqf1o  5806  isotr  5833  ener  6908  omf1o  6965  oef1o  7401  cnfcom3  7407  infxpenc  7645  ackbij2lem2  7866  canthp1lem2  8275  pwfseqlem5  8285  hashfacen  11392  summolem3  12187  fsumf1o  12196  ackbijnn  12286  eulerthlem2  12850  symgcl  14778  gsumval3eu  15190  gsumval3  15191  resinf1o  19898  counop  22501  derangenlem  23702  subfacp1lem5  23715  rngoisoco  26613  enfixsn  27257  pmtrfconj  27407  lautco  30286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator