Theorem f1oco 3713

Description: Composition of one-to-one onto functions.

Assertion

Ref	Expression
f1oco	|- ((F:B-1-1-onto->C /\ G:A-1-1-onto->B) -> (F o. G):A-1-1-onto->C)

Proof of Theorem f1oco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1co 3673	. . . 4 |- ((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) -> (F o. G):A-1-1->C)
2		foco 3688	. . . 4 |- ((F:B-onto->C /\ G:A-onto->B) -> (F o. G):A-onto->C)
3	1, 2	anim12i 333	. . 3 |- (((F:B-1-1->C /\ G:A-1-1->B) /\ (F:B-onto->C /\ G:A-onto->B)) -> ((F o. G):A-1-1->C /\ (F o. G):A-onto->C))
4	3	an4s 510	. 2 |- (((F:B-1-1->C /\ F:B-onto->C) /\ (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B)) -> ((F o. G):A-1-1->C /\ (F o. G):A-onto->C))
5		df-f1o 3203	. . 3 |- (F:B-1-1-onto->C <-> (F:B-1-1->C /\ F:B-onto->C))
6		df-f1o 3203	. . 3 |- (G:A-1-1-onto->B <-> (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B))
7	5, 6	anbi12i 484	. 2 |- ((F:B-1-1-onto->C /\ G:A-1-1-onto->B) <-> ((F:B-1-1->C /\ F:B-onto->C) /\ (G:A-1-1->B /\ G:A-onto->B)))
8		df-f1o 3203	. 2 |- ((F o. G):A-1-1-onto->C <-> ((F o. G):A-1-1->C /\ (F o. G):A-onto->C))
9	4, 7, 8	3imtr4 219	1 |- ((F:B-1-1-onto->C /\ G:A-1-1-onto->B) -> (F o. G):A-1-1-onto->C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   o. ccom 3180  -1-1->wf1 3185  -onto->wfo 3186  -1-1-onto->wf1o 3187

This theorem is referenced by:  isotr 3903  isotrALT 3904  ener 4416  shftefif1olem 8736  counopt 9840  symgf 10400  symggrpi 10401  cmphmp 10507

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203

Copyright terms: Public domain