MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oco Structured version   Unicode version

Theorem f1oco 5701
Description: Composition of one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1oco  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )

Proof of Theorem f1oco
StepHypRef Expression
1 df-f1o 5464 . . 3  |-  ( F : B -1-1-onto-> C  <->  ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C ) )
2 df-f1o 5464 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )
3 f1co 5651 . . . . 5  |-  ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-> C )
4 foco 5666 . . . . 5  |-  ( ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B
)  ->  ( F  o.  G ) : A -onto-> C )
53, 4anim12i 551 . . . 4  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( F : B -onto-> C  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
65an4s 801 . . 3  |-  ( ( ( F : B -1-1-> C  /\  F : B -onto-> C )  /\  ( G : A -1-1-> B  /\  G : A -onto-> B ) )  ->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
71, 2, 6syl2anb 467 . 2  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  (
( F  o.  G
) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G
) : A -onto-> C
) )
8 df-f1o 5464 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C  <->  ( ( F  o.  G ) : A -1-1-> C  /\  ( F  o.  G ) : A -onto-> C ) )
97, 8sylibr 205 1  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> C  /\  G : A -1-1-onto-> B )  ->  ( F  o.  G ) : A -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    o. ccom 4885   -1-1->wf1 5454   -onto->wfo 5455   -1-1-onto->wf1o 5456
This theorem is referenced by:  fveqf1o  6032  isotr  6059  ener  7157  omf1o  7214  oef1o  7658  cnfcom3  7664  infxpenc  7904  ackbij2lem2  8125  canthp1lem2  8533  pwfseqlem5  8543  hashfacen  11708  summolem3  12513  fsumf1o  12522  ackbijnn  12612  eulerthlem2  13176  symgcl  15106  gsumval3eu  15518  gsumval3  15519  resinf1o  20443  counop  23429  derangenlem  24862  subfacp1lem5  24875  prodmolem3  25264  fprodf1o  25277  rngoisoco  26612  enfixsn  27248  pmtrfconj  27398  lautco  30968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464
  Copyright terms: Public domain W3C validator