MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Unicode version

Theorem f1ococnv1 5502
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5475 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5124 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' `' F  =  F )
43coeq2d 4846 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  ( `' F  o.  F
) )
5 f1ocnv 5485 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ococnv2 5500 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  -> 
( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
75, 6syl 15 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
84, 7eqtr3d 2317 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   Rel wrel 4694   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5503  f1ocnvfv1  5792  fcof1o  5803  mapen  7025  mapfien  7399  hashfacen  11392  setcinv  13922  catcisolem  13938  symggrp  14780  ufldom  17657  pf1mpf  19435  subfacp1lem5  23715  hmeogrpi  25536  f1omvdco2  27391  ltrncoidN  30317  trlcoabs2N  30911  trlcoat  30912  trlcone  30917  cdlemg47  30925  tgrpgrplem  30938  tendoipl  30986  cdlemi2  31008  cdlemk2  31021  cdlemk4  31023  cdlemk8  31027  tendocnv  31211  dvhgrp  31297  cdlemn8  31394  dihopelvalcpre  31438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator