MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ococnv1 Structured version   Unicode version

Theorem f1ococnv1 5704
Description: The composition of a one-to-one onto function's converse and itself equals the identity relation restricted to the function's domain. (Contributed by NM, 13-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
f1ococnv1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )

Proof of Theorem f1ococnv1
StepHypRef Expression
1 f1orel 5677 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  Rel  F )
2 dfrel2 5321 . . . 4  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' `' F  =  F )
43coeq2d 5035 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  ( `' F  o.  F
) )
5 f1ocnv 5687 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ococnv2 5702 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  -> 
( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  `' `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
84, 7eqtr3d 2470 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    _I cid 4493   `'ccnv 4877    |` cres 4880    o. ccom 4882   Rel wrel 4883   -1-1-onto->wf1o 5453
This theorem is referenced by:  f1cocnv1  5705  f1ocnvfv1  6014  fcof1o  6026  mapen  7271  mapfien  7653  hashfacen  11703  setcinv  14245  catcisolem  14261  symggrp  15103  ufldom  17994  pf1mpf  19972  subfacp1lem5  24870  f1omvdco2  27368  ltrncoidN  30925  trlcoabs2N  31519  trlcoat  31520  trlcone  31525  cdlemg47  31533  tgrpgrplem  31546  tendoipl  31594  cdlemi2  31616  cdlemk2  31629  cdlemk4  31631  cdlemk8  31635  tendocnv  31819  dvhgrp  31905  cdlemn8  32002  dihopelvalcpre  32046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461
  Copyright terms: Public domain W3C validator