Theorem f1oen 4398

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous.

Hypothesis

Ref	Expression
f1oen.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
f1oen	|- (F:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)

Proof of Theorem f1oen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oen.1	. 2 |- A e. V
2		f1oeng 4395	. 2 |- ((A e. V /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)
3	1, 2	mpan 695	1 |- (F:A-1-1-onto->B -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  idssen 4406  ener 4410  f1imaen 4422  sbthlem10 4456  mapen 4491  phplem2 4509  phplem4 4511  pssnn 4534  unifiOLD 4557  fiint 4559  fiintOLD 4560  nnenom 7498  infxpidmlem12 7563

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain