MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oen Unicode version

Theorem f1oen 7064
Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oen.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1oen  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )

Proof of Theorem f1oen
StepHypRef Expression
1 f1oen.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 f1oeng 7062 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-onto-> B )  ->  A  ~~  B )
31, 2mpan 652 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  A  ~~  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   class class class wbr 4153   -1-1-onto->wf1o 5393    ~~ cen 7042
This theorem is referenced by:  infxpenlem  7828  dfac8alem  7843  dfac12lem2  7957  dfac12lem3  7958  r1om  8057  axcc2lem  8249  summolem3  12435  summolem2a  12436  summolem2  12437  zsum  12439  cpnnen  12755  eulerthlem2  13098  4sqlem11  13250  gicen  14991  orbsta2  15018  odhash  15135  odhash2  15136  sylow1lem2  15160  sylow2blem1  15181  znhash  16762  basellem5  20734  eupafi  21541  ballotlemfrc  24563  ballotlem8  24573  erdszelem10  24665  prodmolem3  25038  prodmolem2a  25039  prodmolem2  25040  zprod  25042  mapfien2  26927  pwfi2en  26930  hashgcdeq  27186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-en 7046
  Copyright terms: Public domain W3C validator