Theorem f1oeng 4395

Description: The domain and range of a one-to-one, onto function are equinumerous.

Assertion

Ref	Expression
f1oeng	|- ((A e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Proof of Theorem f1oeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnex 3607	. . . 4 |- ((F Fn A /\ A e. C) -> F e. V)
2	1	ancoms 436	. . 3 |- ((A e. C /\ F Fn A) -> F e. V)
3		f1ofn 3690	. . 3 |- (F:A-1-1-onto->B -> F Fn A)
4	2, 3	sylan2 451	. 2 |- ((A e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> F e. V)
5		f1oen2g 4394	. 2 |- ((F e. V /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)
6	4, 5	sylancom 475	1 |- ((A e. C /\ F:A-1-1-onto->B) -> A ~~ B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   Fn wfn 3177  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364

This theorem is referenced by:  f1oen 4398  en2d 4400  unbenlem 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368

Copyright terms: Public domain