Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1ofi Unicode version

Theorem f1ofi 25070
Description: If the domain of a bijection is finite its range is finite and reciprocally. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
f1ofi  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )

Proof of Theorem f1ofi
StepHypRef Expression
1 f1ofo 5479 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
2 fofi 7142 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  e.  Fin )
32ex 423 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  Fin )
)
41, 3syl5com 26 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  Fin  ->  B  e.  Fin ) )
5 f1ocnv 5485 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5479 . . 3  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B -onto-> A
)
7 fofi 7142 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  `' F : B -onto-> A
)  ->  A  e.  Fin )
87expcom 424 . . 3  |-  ( `' F : B -onto-> A  ->  ( B  e.  Fin  ->  A  e.  Fin )
)
95, 6, 83syl 18 . 2  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( B  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
104, 9impbid 183 1  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  Fin  <->  B  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   `'ccnv 4688   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator