MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Unicode version

Theorem f1oi 5511
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5361 . 2  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
2 cnvresid 5322 . . . 4  |-  `' (  _I  |`  A )  =  (  _I  |`  A )
32fneq1i 5338 . . 3  |-  ( `' (  _I  |`  A )  Fn  A  <->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
41, 3mpbir 200 . 2  |-  `' (  _I  |`  A )  Fn  A
5 dff1o4 5480 . 2  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A )  Fn  A  /\  `' (  _I  |`  A )  Fn  A ) )
61, 4, 5mpbir2an 886 1  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  f1ovi  5512  fveqf1o  5806  isoid  5826  enrefg  6893  ssdomg  6907  hartogslem1  7257  wdomref  7286  infxpenc  7645  pwfseqlem5  8285  dfle2  10481  wunndx  13164  idfucl  13755  idffth  13807  ressffth  13812  setccatid  13916  idghm  14698  symggrp  14780  symgid  14781  ssidcn  16985  resthauslem  17091  sshauslem  17100  hausdiag  17339  idqtop  17397  fmid  17655  mbfid  18991  dvid  19267  dvexp  19302  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  hoif  22334  idunop  22558  idcnop  22561  elunop2  22593  subfacp1lem4  23714  subfacp1lem5  23715  ghomsn  23995  scprefat  25071  dispos  25287  idfisf  25841  idsubfun  25858  infemb  25859  idcatfun  25941  mzpresrename  26828  eldioph2lem1  26839  eldioph2lem2  26840  diophren  26896  kelac2  27163  islinds2  27283  lindfres  27293  lindsmm  27298  lnrfg  27323  idlaut  30285  tendoidcl  30958  tendo0co2  30977  erng1r  31184  dvalveclem  31215  dva0g  31217  dvh0g  31301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator