Theorem f1oi 3717

Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function.

Assertion

Ref	Expression
f1oi	|- (I |` A):A-1-1-onto->A

Proof of Theorem f1oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1o3 3694	. 2 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
2		df-fo 3196	. . 3 |- ((I |` A):A-onto->A <-> ((I |` A) Fn A /\ ran ( I |` A) = A))
3		fnresi 3603	. . 3 |- (I |` A) Fn A
4		rnresi 3418	. . 3 |- ran ( I |` A) = A
5	2, 3, 4	mpbir2an 730	. 2 |- (I |` A):A-onto->A
6		funi 3545	. . . 4 |- Fun I
7		cnvi 3447	. . . . 5 |- `'I = I
8		funeq 3535	. . . . 5 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . 4 |- (Fun `'I <-> Fun I)
10	6, 9	mpbir 190	. . 3 |- Fun `'I
11		funres11 3567	. . 3 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. 2 |- Fun `'(I |` A)
13	1, 5, 12	mpbir2an 730	1 |- (I |` A):A-1-1-onto->A

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956  Icid 2831  `'ccnv 3169  ran crn 3171   |` cres 3172  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -onto->wfo 3180  -1-1-onto->wf1o 3181

This theorem is referenced by:  f1ovi 3718  isoid 3895  enrefg 4390  idssen 4406  ssdomg 4408  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492  hoif 9680  idunop 9902  idcnop 9905  elunop2t 9938  ghomsn 10388  symggrpi 10406  symgidi 10407  idhme 10522  hmphre 10530  idfisf 10760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197

Copyright terms: Public domain