MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oi Structured version   Unicode version

Theorem f1oi 5705
Description: A restriction of the identity relation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
f1oi  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A

Proof of Theorem f1oi
StepHypRef Expression
1 fnresi 5554 . 2  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
2 cnvresid 5515 . . . 4  |-  `' (  _I  |`  A )  =  (  _I  |`  A )
32fneq1i 5531 . . 3  |-  ( `' (  _I  |`  A )  Fn  A  <->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
41, 3mpbir 201 . 2  |-  `' (  _I  |`  A )  Fn  A
5 dff1o4 5674 . 2  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A )  Fn  A  /\  `' (  _I  |`  A )  Fn  A ) )
61, 4, 5mpbir2an 887 1  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    _I cid 4485   `'ccnv 4869    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -1-1-onto->wf1o 5445
This theorem is referenced by:  f1ovi  5706  fveqf1o  6021  isoid  6041  enrefg  7131  ssdomg  7145  hartogslem1  7503  wdomref  7532  infxpenc  7891  pwfseqlem5  8530  dfle2  10732  wunndx  13477  idfucl  14070  idffth  14122  ressffth  14127  setccatid  14231  idghm  15013  symggrp  15095  symgid  15096  ssidcn  17311  resthauslem  17419  sshauslem  17428  hausdiag  17669  idqtop  17730  fmid  17984  iducn  18305  mbfid  19520  dvid  19796  dvexp  19831  wilthlem2  20844  wilthlem3  20845  ausisusgra  21372  cusgraexilem2  21468  sizeusglecusglem1  21485  hoif  23249  idunop  23473  idcnop  23476  elunop2  23508  qqhre  24378  rrhre  24379  subfacp1lem4  24861  subfacp1lem5  24862  ghomsn  25091  mzpresrename  26798  eldioph2lem1  26809  eldioph2lem2  26810  diophren  26865  kelac2  27131  islinds2  27251  lindfres  27261  lindsmm  27266  lnrfg  27291  idlaut  30830  tendoidcl  31503  tendo0co2  31522  erng1r  31729  dvalveclem  31760  dva0g  31762  dvh0g  31846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator