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Theorem f1oiso2 6075
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
Assertion
Ref Expression
f1oiso2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, H, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
2 f1ocnvdm 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( `' H `  x )  e.  A
)
32adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  x )  e.  A )
433adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x )  e.  A
)
5 f1ocnvdm 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( `' H `  y )  e.  A
)
65adantrl 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  y )  e.  A )
763adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  y )  e.  A
)
8 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  x ) )  =  x )
98eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) ) )
10 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  y ) )  =  y )
1110eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( H `
 ( `' H `  y ) ) )
129, 11anim12dan 812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
13123adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
14 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
15 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )
1615eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
y  =  ( H `
 w )  <->  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
1716anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) ) )
18 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( `' H `  x ) R w  <-> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
1917, 18anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
2019rspcev 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' H `  y )  e.  A  /\  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
217, 13, 14, 20syl12anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
22 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( H `  z )  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) )
2322eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
x  =  ( H `
 z )  <->  x  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) ) )
2423anbi1d 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) ) ) )
25 breq1 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
z R w  <->  ( `' H `  x ) R w ) )
2624, 25anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2726rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2827rspcev 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H `  x )  e.  A  /\  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
294, 21, 28syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
30293expib 1157 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
31 simp3ll 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  =  ( H `  z ) )
32 simp1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
33 simp2l 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z  e.  A
)
34 f1of 5677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
3534ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  e.  B )
3632, 33, 35syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  e.  B
)
3731, 36eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  e.  B
)
38 simp3lr 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  =  ( H `  w ) )
39 simp2r 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  w  e.  A
)
4034ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w
)  e.  B )
4132, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  e.  B
)
4238, 41eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  e.  B
)
43 simp3r 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z R w )
4431eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  =  x )
45 f1ocnvfv 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( ( H `  z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4632, 33, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4744, 46mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x )  =  z )
4838eqcomd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  =  y )
49 f1ocnvfv 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( H `  w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5032, 39, 49syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5148, 50mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  y )  =  w )
5243, 47, 513brtr4d 4245 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
5337, 42, 52jca31 522 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
54533exp 1153 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) ) )
5554rexlimdvv 2838 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
5630, 55impbid 185 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
5756opabbidv 4274 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
581, 57syl5eq 2482 . 2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  S  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
59 f1oiso 6074 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6058, 59mpdan 651 1  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   {copab 4268   `'ccnv 4880   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457    Isom wiso 5458
This theorem is referenced by:  fnwelem  6464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466
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