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Theorem f1oiso2 5849
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
f1oiso2.1  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
Assertion
Ref Expression
f1oiso2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, H, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem f1oiso2
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oiso2.1 . . 3  |-  S  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }
2 f1ocnvdm 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( `' H `  x )  e.  A
)
32adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  x )  e.  A )
433adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x )  e.  A
)
5 f1ocnvdm 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( `' H `  y )  e.  A
)
65adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( `' H `  y )  e.  A )
763adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  y )  e.  A
)
8 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  x ) )  =  x )
98eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) ) )
10 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  y ) )  =  y )
1110eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( H `
 ( `' H `  y ) ) )
129, 11anim12dan 810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
13123adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
14 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  -> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
15 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )
1615eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
y  =  ( H `
 w )  <->  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) )
1716anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) ) ) )
18 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( `' H `  x ) R w  <-> 
( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' H `  y )  ->  (
( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
2019rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' H `  y )  e.  A  /\  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  ( `' H `  y ) ) )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
217, 13, 14, 20syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( H `  z )  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) )
2322eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
x  =  ( H `
 z )  <->  x  =  ( H `  ( `' H `  x ) ) ) )
2423anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  <->  ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) ) ) )
25 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
z R w  <->  ( `' H `  x ) R w ) )
2624, 25anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  (
( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2726rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' H `  x )  ->  ( E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  <->  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) ) )
2827rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H `  x )  e.  A  /\  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  ( `' H `  x ) )  /\  y  =  ( H `  w
) )  /\  ( `' H `  x ) R w ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
294, 21, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )
30293expib 1154 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  ->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( ( x  =  ( H `  z
)  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
31 simp3ll 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  =  ( H `  z ) )
32 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
33 simp2l 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z  e.  A
)
34 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  e.  B )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( H `  z
)  e.  B )
3732, 33, 36syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  e.  B
)
3831, 37eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  x  e.  B
)
39 simp3lr 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  =  ( H `  w ) )
40 simp2r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  w  e.  A
)
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w
)  e.  B )
4234, 41sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( H `  w
)  e.  B )
4332, 40, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  e.  B
)
4439, 43eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  y  e.  B
)
45 simp3r 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  z R w )
4631eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  z )  =  x )
47 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  A )  ->  ( ( H `  z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4832, 33, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 z )  =  x  ->  ( `' H `  x )  =  z ) )
4946, 48mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x )  =  z )
5039eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( H `  w )  =  y )
51 f1ocnvfv 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  A )  ->  ( ( H `  w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5232, 40, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( H `
 w )  =  y  ->  ( `' H `  y )  =  w ) )
5350, 52mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  y )  =  w )
5445, 49, 533brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )
5538, 44, 54jca31 520 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) )  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) )
56553exp 1150 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) ) )
5756rexlimdvv 2673 . . . . 5  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) ) )
5830, 57impbid 183 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) ) )
5958opabbidv 4082 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( `' H `  x ) R ( `' H `  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
601, 59syl5eq 2327 . 2  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  S  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  ( (
x  =  ( H `
 z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )
61 f1oiso 5848 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  A  E. w  e.  A  (
( x  =  ( H `  z )  /\  y  =  ( H `  w ) )  /\  z R w ) } )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6260, 61mpdan 649 1  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   {copab 4076   `'ccnv 4688   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256
This theorem is referenced by:  fnwelem  6230
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264
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