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Theorem f1omvdco2 27391
Description: If exactly one of two permutations is limited to a set of points, then the composition will not be. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdco2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X \/_ dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )

Proof of Theorem f1omvdco2
StepHypRef Expression
1 excxor 1300 . . 3  |-  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X \/_ dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  <->  ( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X ) ) )
2 coass 5191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
3 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A ) )
43coeq1d 4845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  G
) )
5 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A
--> A )
6 fcoi2 5416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  A )  o.  G )  =  G )
84, 7sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  F )  o.  G
)  =  G )
92, 8syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
)  =  G )
109difeq1d 3293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  ( G  \  _I  ) )
1110dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  =  dom  ( G 
\  _I  ) )
13 mvdco 27388 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  ( dom  ( `' F  \  _I  )  u.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )
14 f1omvdcnv 27387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
16 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
1715, 16eqsstrd 3212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' F  \  _I  )  C_  X )
18 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
1917, 18unssd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( `' F  \  _I  )  u. 
dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  ) )  C_  X
)
2013, 19syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  \  _I  )  C_  X )
2112, 20eqsstr3d 3213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
2221expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )
2322con3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
2423expimpd 586 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
25 coass 5191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  =  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )
26 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( G  o.  `' G )  =  (  _I  |`  A )
)
2726coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  ( F  o.  (  _I  |`  A ) ) )
28 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A
--> A )
29 fcoi1 5415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : A --> A  -> 
( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  (  _I  |`  A ) )  =  F )
3127, 30sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( G  o.  `' G ) )  =  F )
3225, 31syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( F  o.  G
)  o.  `' G
)  =  F )
3332difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( F  \  _I  ) )
3433dmeqd 4881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
3534adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  ) )
36 mvdco 27388 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  ( dom  (
( F  o.  G
)  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )
37 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
38 f1omvdcnv 27387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  ) )
3938ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  =  dom  ( G  \  _I  )
)
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )
4139, 40eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' G  \  _I  )  C_  X )
4237, 41unssd 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  u.  dom  ( `' G  \  _I  ) )  C_  X
)
4336, 42syl5ss 3190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( F  o.  G )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  X )
4435, 43eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X )
4544expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  X ) )
4645con3d 125 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4746expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( G  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( F 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4847ancomsd 440 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G 
\  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X ) )
4924, 48jaod 369 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  -.  dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  \/  ( -.  dom  ( F  \  _I  )  C_  X  /\  dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
501, 49syl5bi 208 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( dom  ( F  \  _I  )  C_  X \/_ dom  ( G  \  _I  )  C_  X )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
51503impia 1148 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  C_  X \/_ dom  ( G  \  _I  )  C_  X ) )  ->  -.  dom  ( ( F  o.  G )  \  _I  )  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   \/_wxo 1295    = wceq 1623    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  f1omvdco3  27392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-xor 1296  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
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