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Theorem f1omvdconj 26801
Description: Conjugation of a permutation takes the image of the moved subclass. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1omvdconj  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )

Proof of Theorem f1omvdconj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3303 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
)  \  _I  )  C_  ( ( G  o.  F )  o.  `' G )
2 dmss 4878 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  dom  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  dom  ( ( G  o.  F )  o.  `' G )
4 dmcoss 4944 . . . . 5  |-  dom  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  C_  dom  `' G
53, 4sstri 3188 . . . 4  |-  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  dom  `' G
6 f1ocnv 5485 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  `' G : A -1-1-onto-> A )
76adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  `' G : A -1-1-onto-> A )
8 f1odm 5476 . . . . 5  |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A  ->  dom  `' G  =  A
)
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  `' G  =  A )
105, 9syl5sseq 3226 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  C_  A )
1110sselda 3180 . 2  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  ) )  ->  x  e.  A )
12 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( G
" dom  ( F  \  _I  ) )  C_  ran  G
13 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A
--> A )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  G : A --> A )
15 frn 5395 . . . . 5  |-  ( G : A --> A  ->  ran  G  C_  A )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ran  G 
C_  A )
1712, 16syl5ss 3190 . . 3  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) 
C_  A )
1817sselda 3180 . 2  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  x  e.  A )
19 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  F : A --> A )
20 fco 5398 . . . . . . 7  |-  ( ( G : A --> A  /\  F : A --> A )  ->  ( G  o.  F ) : A --> A )
2114, 19, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  ( G  o.  F ) : A --> A )
22 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A  ->  `' G : A --> A )
237, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  `' G : A --> A )
24 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  o.  F
) : A --> A  /\  `' G : A --> A )  ->  ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) : A --> A )
2521, 23, 24syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) : A --> A )
26 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( ( ( G  o.  F
)  o.  `' G
) : A --> A  -> 
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  Fn  A
)
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  (
( G  o.  F
)  o.  `' G
)  Fn  A )
28 fnelnfp 26169 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  Fn  A  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  e.  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) 
\  _I  )  <->  ( (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) `  x )  =/=  x ) )
2927, 28sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  ) 
<->  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =/=  x ) )
30 f1ofn 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( `' G : A -1-1-onto-> A  ->  `' G  Fn  A
)
317, 30syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  `' G  Fn  A )
32 fvco2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G  Fn  A  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
( G  o.  F
)  o.  `' G
) `  x )  =  ( ( G  o.  F ) `  ( `' G `  x ) ) )
3331, 32sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =  ( ( G  o.  F ) `
 ( `' G `  x ) ) )
34 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> A  ->  F  Fn  A )
3534ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  F  Fn  A )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G : A --> A  /\  x  e.  A )  ->  ( `' G `  x )  e.  A
)
3723, 36sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( `' G `  x )  e.  A )
38 fvco2 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( `' G `  x )  e.  A )  -> 
( ( G  o.  F ) `  ( `' G `  x ) )  =  ( G `
 ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
3935, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( G  o.  F
) `  ( `' G `  x )
)  =  ( G `
 ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
4033, 39eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
4140eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =  x  <->  ( G `  ( F `  ( `' G `  x ) ) )  =  x ) )
42 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  G : A -1-1-onto-> A )
43 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  F : A --> A )
44 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> A  /\  ( `' G `  x )  e.  A )  -> 
( F `  ( `' G `  x ) )  e.  A )
4543, 37, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( `' G `  x )
)  e.  A )
46 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
47 f1ocnvfvb 5795 . . . . . 6  |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A  /\  ( F `  ( `' G `  x ) )  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  ( F `  ( `' G `  x ) ) )  =  x  <-> 
( `' G `  x )  =  ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
4842, 45, 46, 47syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  ( F `  ( `' G `  x )
) )  =  x  <-> 
( `' G `  x )  =  ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
4941, 48bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =  x  <->  ( `' G `  x )  =  ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
5049necon3bid 2481 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( G  o.  F )  o.  `' G ) `  x
)  =/=  x  <->  ( `' G `  x )  =/=  ( F `  ( `' G `  x ) ) ) )
51 necom 2527 . . . 4  |-  ( ( `' G `  x )  =/=  ( F `  ( `' G `  x ) )  <->  ( F `  ( `' G `  x ) )  =/=  ( `' G `  x ) )
52 f1of1 5471 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G : A -1-1-> A )
5352ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  G : A -1-1-> A )
54 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
\  _I  )  C_  F
55 dmss 4878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  \  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F 
\  _I  )  C_  dom  F )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  \  _I  )  C_  dom  F
57 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> A  ->  dom  F  =  A )
5856, 57syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> A  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  A )
5958ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( F  \  _I  )  C_  A )
60 f1elima 5787 . . . . . 6  |-  ( ( G : A -1-1-> A  /\  ( `' G `  x )  e.  A  /\  dom  ( F  \  _I  )  C_  A )  ->  ( ( G `
 ( `' G `  x ) )  e.  ( G " dom  ( F  \  _I  )
)  <->  ( `' G `  x )  e.  dom  ( F  \  _I  )
) )
6153, 37, 59, 60syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  ( `' G `  x ) )  e.  ( G
" dom  ( F  \  _I  ) )  <->  ( `' G `  x )  e.  dom  ( F  \  _I  ) ) )
62 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
6362adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  ( `' G `  x )
)  =  x )
6463eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  ( `' G `  x ) )  e.  ( G
" dom  ( F  \  _I  ) )  <->  x  e.  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
65 fnelnfp 26169 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  ( `' G `  x )  e.  A )  -> 
( ( `' G `  x )  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  ( `' G `  x ) )  =/=  ( `' G `  x ) ) )
6635, 37, 65syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( `' G `  x )  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  ( `' G `  x ) )  =/=  ( `' G `  x ) ) )
6761, 64, 663bitr3rd 275 . . . 4  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  ( `' G `  x ) )  =/=  ( `' G `  x )  <-> 
x  e.  ( G
" dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
6851, 67syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( `' G `  x )  =/=  ( F `  ( `' G `  x )
)  <->  x  e.  ( G " dom  ( F 
\  _I  ) ) ) )
6929, 50, 683bitrd 270 . 2  |-  ( ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
x  e.  dom  (
( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  ) 
<->  x  e.  ( G
" dom  ( F  \  _I  ) ) ) )
7011, 18, 69eqrdav 2282 1  |-  ( ( F : A --> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  ->  dom  ( ( ( G  o.  F )  o.  `' G )  \  _I  )  =  ( G " dom  ( F  \  _I  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  26819  psgnunilem1  26828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
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