MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Unicode version

Theorem f1oprswap 5515
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5514 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A } )
21anidms 626 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
32ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4 dfsn2 3654 . . . . . . 7  |-  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }
5 opeq2 3797 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
75, 6preq12d 3714 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
84, 7syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
9 f1oeq1 5463 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
11 dfsn2 3654 . . . . . . 7  |-  { A }  =  { A ,  A }
12 preq2 3707 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
1311, 12syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
14 f1oeq2 5464 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A } ) )
15 f1oeq3 5465 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } ) )
1614, 15bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1713, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1810, 17bitrd 244 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
203, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
21 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  V )
22 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  =/=  B )
24 fnprg 5305 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
2521, 22, 22, 21, 23, 24syl221anc 1193 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
26 cnvsng 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
27 cnvsng 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2827ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2926, 28uneq12d 3330 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } ) )
30 uncom 3319 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3129, 30syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
33 df-pr 3647 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3433cnveqi 4856 . . . . . . 7  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  `' ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
35 cnvun 5086 . . . . . . 7  |-  `' ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3634, 35eqtri 2303 . . . . . 6  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3732, 36, 333eqtr4g 2340 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
3837fneq1d 5335 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
) )
3925, 38mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
40 dff1o4 5480 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } 
<->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  /\  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B } ) )
4125, 39, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
4220, 41pm2.61dane 2524 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   `'ccnv 4688    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  fveqf1o  5806  subfacp1lem2a  23711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator