MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Unicode version

Theorem f1oprswap 5657
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A } )
21anidms 627 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
32ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4 dfsn2 3771 . . . . . 6  |-  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }
5 opeq2 3927 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq1 3926 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
75, 6preq12d 3834 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
84, 7syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
9 dfsn2 3771 . . . . . 6  |-  { A }  =  { A ,  A }
10 preq2 3827 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
119, 10syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
128, 11, 11f1oeq123d 5611 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1312adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
143, 13mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
15 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  V )
16 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
17 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  =/=  B )
18 fnprg 5445 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
1915, 16, 16, 15, 17, 18syl221anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
20 cnvsng 5295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21 cnvsng 5295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2221ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2320, 22uneq12d 3445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } ) )
24 uncom 3434 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
2523, 24syl6eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
27 df-pr 3764 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
2827cnveqi 4987 . . . . . . 7  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  `' ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
29 cnvun 5217 . . . . . . 7  |-  `' ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3028, 29eqtri 2407 . . . . . 6  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3126, 30, 273eqtr4g 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
3231fneq1d 5476 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
) )
3319, 32mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
34 dff1o4 5622 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } 
<->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  /\  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B } ) )
3519, 33, 34sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
3614, 35pm2.61dane 2628 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    u. cun 3261   {csn 3757   {cpr 3758   <.cop 3760   `'ccnv 4817    Fn wfn 5389   -1-1-onto->wf1o 5393
This theorem is referenced by:  fveqf1o  5968  subfacp1lem2a  24645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401
  Copyright terms: Public domain W3C validator