MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Unicode version

Theorem f1oprswap 5531
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5530 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A } )
21anidms 626 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
32ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4 dfsn2 3667 . . . . . . 7  |-  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }
5 opeq2 3813 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq1 3812 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
75, 6preq12d 3727 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
84, 7syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
9 f1oeq1 5479 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } ) )
11 dfsn2 3667 . . . . . . 7  |-  { A }  =  { A ,  A }
12 preq2 3720 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
1311, 12syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
14 f1oeq2 5480 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A } ) )
15 f1oeq3 5481 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } ) )
1614, 15bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  { A ,  B }  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1713, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1810, 17bitrd 244 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1918adantl 452 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
203, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
21 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  V )
22 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
23 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  =/=  B )
24 fnprg 5321 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
2521, 22, 22, 21, 23, 24syl221anc 1193 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
26 cnvsng 5174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
27 cnvsng 5174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2827ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2926, 28uneq12d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } ) )
30 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3129, 30syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
33 df-pr 3660 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
3433cnveqi 4872 . . . . . . 7  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  `' ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
35 cnvun 5102 . . . . . . 7  |-  `' ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3634, 35eqtri 2316 . . . . . 6  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3732, 36, 333eqtr4g 2353 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
3837fneq1d 5351 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
) )
3925, 38mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
40 dff1o4 5496 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } 
<->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  /\  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B } ) )
4125, 39, 40sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
4220, 41pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    u. cun 3163   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   `'ccnv 4704    Fn wfn 5266   -1-1-onto->wf1o 5270
This theorem is referenced by:  fveqf1o  5822  subfacp1lem2a  23726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278
  Copyright terms: Public domain W3C validator