MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oprswap Structured version   Unicode version

Theorem f1oprswap 5709
Description: A two-element swap is a bijection on a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1oprswap  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )

Proof of Theorem f1oprswap
StepHypRef Expression
1 f1osng 5708 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A } )
21anidms 627 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
32ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  A >. } : { A } -1-1-onto-> { A } )
4 dfsn2 3820 . . . . . 6  |-  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }
5 opeq2 3977 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. A ,  B >. )
6 opeq1 3976 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  <. A ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
75, 6preq12d 3883 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. ,  <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
84, 7syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { <. A ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
9 dfsn2 3820 . . . . . 6  |-  { A }  =  { A ,  A }
10 preq2 3876 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  A }  =  { A ,  B }
)
119, 10syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { A ,  B } )
128, 11, 11f1oeq123d 5663 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
1312adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  ( { <. A ,  A >. } : { A }
-1-1-onto-> { A }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
) )
143, 13mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
15 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  e.  V )
16 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  B  e.  W )
17 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  A  =/=  B )
18 fnprg 5497 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
1915, 16, 16, 15, 17, 18syl221anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
20 cnvsng 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21 cnvsng 5347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2221ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
2320, 22uneq12d 3494 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } ) )
24 uncom 3483 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. B ,  A >. }  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
2523, 24syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
2625adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )  =  ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } ) )
27 df-pr 3813 . . . . . . . 8  |-  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
2827cnveqi 5039 . . . . . . 7  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  `' ( {
<. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )
29 cnvun 5269 . . . . . . 7  |-  `' ( { <. A ,  B >. }  u.  { <. B ,  A >. } )  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3028, 29eqtri 2455 . . . . . 6  |-  `' { <. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. }  =  ( `' { <. A ,  B >. }  u.  `' { <. B ,  A >. } )
3126, 30, 273eqtr4g 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } )
3231fneq1d 5528 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  ( `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  <->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
) )
3319, 32mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }
)
34 dff1o4 5674 . . 3  |-  ( {
<. A ,  B >. , 
<. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } 
<->  ( { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B }  /\  `' { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. }  Fn  { A ,  B } ) )
3519, 33, 34sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  A  =/=  B )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B }
)
3614, 35pm2.61dane 2676 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. ,  <. B ,  A >. } : { A ,  B } -1-1-onto-> { A ,  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    u. cun 3310   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   `'ccnv 4869    Fn wfn 5441   -1-1-onto->wf1o 5445
This theorem is referenced by:  fveqf1o  6021  subfacp1lem2a  24858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453
  Copyright terms: Public domain W3C validator