MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1osng Unicode version

Theorem f1osng 5514
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1osng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )

Proof of Theorem f1osng
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3651 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { a }  =  { A } )
2 f1oeq2 5464 . . . 4  |-  ( { a }  =  { A }  ->  ( {
<. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. a ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
4 opeq1 3796 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
54sneqd 3653 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  { <. a ,  b >. }  =  { <. A ,  b
>. } )
6 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( {
<. a ,  b >. }  =  { <. A , 
b >. }  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
83, 7bitrd 244 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( { <. a ,  b
>. } : { a } -1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { b } ) )
9 sneq 3651 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { b }  =  { B } )
10 f1oeq3 5465 . . . 4  |-  ( { b }  =  { B }  ->  ( {
<. A ,  b >. } : { A } -1-1-onto-> {
b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A , 
b >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
12 opeq2 3797 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
1312sneqd 3653 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  { <. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. } )
14 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  b >. }  =  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { B }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
1611, 15bitrd 244 . 2  |-  ( b  =  B  ->  ( { <. A ,  b
>. } : { A }
-1-1-onto-> { b }  <->  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } ) )
17 vex 2791 . . 3  |-  a  e. 
_V
18 vex 2791 . . 3  |-  b  e. 
_V
1917, 18f1osn 5513 . 2  |-  { <. a ,  b >. } : { a } -1-1-onto-> { b }
208, 16, 19vtocl2g 2847 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. } : { A }
-1-1-onto-> { B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643   -1-1-onto->wf1o 5254
This theorem is referenced by:  f1oprswap  5515  fsnunf  5718  fseqenlem1  7651  canthp1lem2  8275  s1cl  11441  sumsn  12213  vdwlem8  13035  gsumws1  14462  dprdsn  15271  frgpcyg  16527  pt1hmeo  17497  umgra1  23878  vdgr1d  23894  vdgr1b  23895  vdgr1a  23897  eupa0  23898  eupap1  23900  cbicp  25166  1iskle  25989  ralxpmap  26761  mapfzcons  26793  enfixsn  27257  sumsnd  27697  f1oprg  28075  uslgra1  28118  usgra1  28119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262
  Copyright terms: Public domain W3C validator