Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1otrspeq Structured version   Unicode version

Theorem f1otrspeq 27367
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 5675 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F  Fn  A )
21ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  Fn  A )
3 f1ofn 5675 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> A  ->  G  Fn  A )
43ad2antlr 708 . 2  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G  Fn  A )
5 1onn 6882 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  1o  e.  om )
7 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
8 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o )
9 df-2o 6725 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  suc  1o
108, 9syl6breq 4251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( F  \  _I  )  ~~  suc  1o )
117, 10eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)
13 dif1en 7341 . . . . . . 7  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  dom  ( G  \  _I  )  ~~  suc  1o  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
146, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) 
~~  1o )
15 euen1b 7178 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  <->  E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
16 eumo 2321 . . . . . . 7  |-  ( E! y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) )
1715, 16sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  ~~  1o  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } ) )
1814, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  E* y  y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
19 f1omvdmvd 27363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) )
2019ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `
 x )  e.  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) ) )
2120ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x }
) ) )
22 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
2322ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
24 difeq1 3458 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( dom  ( G  \  _I  )  \  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  _I  )  \  { x } ) )
2524eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F 
\  _I  )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2625ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } )  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( F  \  _I  )  \  { x } ) ) )
2721, 23, 263imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  -> 
( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  ->  ( F `  x
)  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
) ) )
2827imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
29 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  G : A -1-1-onto-> A )
30 f1omvdmvd 27363 . . . . . 6  |-  ( ( G : A -1-1-onto-> A  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
3129, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) )
32 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
33 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3432, 33pm3.2i 442 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x )  e.  _V )
35 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( F `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
36 eleq1 2496 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x }
)  <->  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )
3735, 36moi 3117 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  _V  /\  ( G `  x
)  e.  _V )  /\  E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3834, 37mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( E* y  y  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( ( F `
 x )  e.  ( dom  ( G 
\  _I  )  \  { x } )  /\  ( G `  x )  e.  ( dom  ( G  \  _I  )  \  { x } ) ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
3918, 28, 31, 38syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  dom  ( G 
\  _I  ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
4039adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
41 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  )
)
4241eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  x  e.  dom  ( F 
\  _I  ) ) )
43 fnelnfp 26738 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
442, 43sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4542, 44bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( F `  x )  =/=  x ) )
4645necon2bbid 2662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
4746biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
48 fnelnfp 26738 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
494, 48sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  dom  ( G  \  _I  )  <->  ( G `  x )  =/=  x ) )
5049necon2bbid 2662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  x  <->  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
) )
5150biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( G `  x )  =  x )
5247, 51eqtr4d 2471 . . 3  |-  ( ( ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A
-1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  /\  -.  x  e.  dom  ( G  \  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
5340, 52pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ( ( ( F : A
-1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A
)  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G  \  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  =  ( G `
 x ) )
542, 4, 53eqfnfvd 5830 1  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> A  /\  G : A -1-1-onto-> A )  /\  ( dom  ( F  \  _I  )  ~~  2o  /\  dom  ( G 
\  _I  )  =  dom  ( F  \  _I  ) ) )  ->  F  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2281   E*wmo 2282    =/= wne 2599   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212    _I cid 4493   suc csuc 4583   omcom 4845   dom cdm 4878    Fn wfn 5449   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454   1oc1o 6717   2oc2o 6718    ~~ cen 7106
This theorem is referenced by:  pmtrfb  27383  psgnunilem1  27393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-2o 6725  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator