MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1stres Unicode version

Theorem f1stres 6141
Description: Mapping of a restriction of the  1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1stres  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A

Proof of Theorem f1stres
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
31, 2op1sta 5154 . . . . . . 7  |-  U. dom  {
<. y ,  z >. }  =  y
43eleq1i 2346 . . . . . 6  |-  ( U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A  <->  y  e.  A )
54biimpri 197 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  U. dom  {
<. y ,  z >. }  e.  A )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A )
76rgen2 2639 . . 3  |-  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A
8 sneq 3651 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  { x }  =  { <. y ,  z
>. } )
98dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. y ,  z >. } )
109unieqd 3838 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. y ,  z >. } )
1110eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( U. dom  { x }  e.  A  <->  U.
dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A ) )
1211ralxp 4827 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A )
137, 12mpbir 200 . 2  |-  A. x  e.  ( A  X.  B
) U. dom  {
x }  e.  A
14 df-1st 6122 . . . . 5  |-  1st  =  ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )
1514reseq1i 4951 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )
16 ssv 3198 . . . . 5  |-  ( A  X.  B )  C_  _V
17 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } ) )
1816, 17ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
1915, 18eqtri 2303 . . 3  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
2019fmpt 5681 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  ( 1st  |`  ( A  X.  B ) ) : ( A  X.  B
) --> A )
2113, 20mpbi 199 1  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   -->wf 5251   1stc1st 6120
This theorem is referenced by:  fo1stres  6143  1stcof  6147  fparlem1  6218  domssex2  7021  domssex  7022  unxpwdom2  7302  1stfcl  13971  tx1cn  17303  xpinpreima  23290  xpinpreima2  23291  1stmbfm  23565  hausgraph  27531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-1st 6122
  Copyright terms: Public domain W3C validator