MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fac3 Unicode version

Theorem fac3 11493
Description: The factorial of 3. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
fac3  |-  ( ! `
 3 )  =  6

Proof of Theorem fac3
StepHypRef Expression
1 df-3 9984 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21fveq2i 5664 . 2  |-  ( ! `
 3 )  =  ( ! `  (
2  +  1 ) )
3 2nn0 10163 . . 3  |-  2  e.  NN0
4 facp1 11491 . . 3  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
2 )  x.  (
2  +  1 ) ) )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( ! `
 ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ! ` 
2 )  x.  (
2  +  1 ) )
6 fac2 11492 . . . 4  |-  ( ! `
 2 )  =  2
7 2p1e3 10028 . . . 4  |-  ( 2  +  1 )  =  3
86, 7oveq12i 6025 . . 3  |-  ( ( ! `  2 )  x.  ( 2  +  1 ) )  =  ( 2  x.  3 )
9 2cn 9995 . . . 4  |-  2  e.  CC
10 3cn 9997 . . . 4  |-  3  e.  CC
119, 10mulcomi 9022 . . 3  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  x.  2 )
12 3t2e6 10053 . . 3  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
138, 11, 123eqtri 2404 . 2  |-  ( ( ! `  2 )  x.  ( 2  +  1 ) )  =  6
142, 5, 133eqtri 2404 1  |-  ( ! `
 3 )  =  6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921   2c2 9974   3c3 9975   6c6 9978   NN0cn0 10146   !cfa 11486
This theorem is referenced by:  fac4  11494  ef4p  12634  ef01bndlem  12705  4bc2eq6  24976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-seq 11244  df-fac 11487
  Copyright terms: Public domain W3C validator