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Theorem facavg 11330
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 10015 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
2 nn0re 9990 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
43rehalfcld 9974 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR )
5 flle 10947 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
7 reflcl 10944 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  2 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  e.  RR )
84, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR )
9 nn0re 9990 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
11 letr 8930 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
128, 4, 10, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  M )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M ) )
136, 12mpand 656 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  M )
)
141nn0ge0d 10037 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( M  +  N ) )
15 halfnneg2 9959 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N
)  /  2 ) ) )
163, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( M  +  N )  <->  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )
1714, 16mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( M  +  N )  /  2 ) )
18 flge0nn0 10964 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
194, 17, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0 )
20 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
21 facwordi 11318 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) )
22213exp 1150 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
) ) ) )
2319, 20, 22sylc 56 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  M ) ) )
24 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
2524nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  CC )
2625mulid1d 8868 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `  M
) )
2726adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  =  ( ! `
 M ) )
28 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2928nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
3029adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
3124nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
3224nnnn0d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e. 
NN0 )
3332nn0ge0d 10037 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  M
) )
3431, 33jca 518 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M
) ) )
3534adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )
3628nnge1d 9804 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  N
) )
3736adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  N ) )
38 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
39 lemul2a 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4038, 39mp3anl1 1271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  M ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  N )
)  ->  ( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
4130, 35, 37, 40syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  1 )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
4227, 41eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
43 faccl 11314 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  e.  NN )
4419, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  NN )
4544nnred 9777 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR )
4631adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
47 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
4831, 29, 47syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
49 letr 8930 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  /\  ( ! `  M )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5045, 46, 48, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  M
)  /\  ( ! `  M )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
5142, 50mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  M )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
5213, 23, 513syld 51 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
53 nn0re 9990 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5453adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
55 letr 8930 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
568, 4, 54, 55syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( |_
`  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_ 
( ( M  +  N )  /  2
)  /\  ( ( M  +  N )  /  2 )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N ) )
576, 56mpand 656 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  <_  N )
)
58 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
59 facwordi 11318 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) )  <_  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) )
60593exp 1150 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
) ) ) )
6119, 58, 60sylc 56 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ! `  N ) ) )
6228nncnd 9778 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
6362mulid2d 8869 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
6463adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ! `
 N ) )
6528nnnn0d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e. 
NN0 )
6665nn0ge0d 10037 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
6729, 66jca 518 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N
) ) )
6867adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )
6924nnge1d 9804 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( ! `  M
) )
7069adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  ( ! `  M ) )
71 lemul1a 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7238, 71mp3anl1 1271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ! `  M )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( ! `  N ) ) )  /\  1  <_  ( ! `  M )
)  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )
7346, 68, 70, 72syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
7464, 73eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N
) ) )
75 letr 8930 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  /\  ( ! `  N )  <_  ( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7645, 30, 48, 75syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ! `  N
)  /\  ( ! `  N )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ! `  ( |_ `  (
( M  +  N
)  /  2 ) ) )  <_  (
( ! `  M
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
7774, 76mpan2d 655 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2 ) ) )  <_  ( ! `  N )  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  /  2
) ) )  <_ 
( ( ! `  M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
7857, 61, 773syld 51 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  N  ->  ( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
79 avgle 9969 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
809, 53, 79syl2an 463 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M  +  N )  / 
2 )  <_  M  \/  ( ( M  +  N )  /  2
)  <_  N )
)
8152, 78, 80mpjaod 370 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( |_ `  ( ( M  +  N )  / 
2 ) ) )  <_  ( ( ! `
 M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   |_cfl 10940   !cfa 11304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fl 10941  df-seq 11063  df-fac 11305
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