Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facavg Structured version   Unicode version

Theorem facavg 11584
 Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 10247 . . . . . . 7
21nn0red 10267 . . . . . 6
32rehalfcld 10206 . . . . 5
4 flle 11200 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 reflcl 11197 . . . . . 6
73, 6syl 16 . . . . 5
8 nn0re 10222 . . . . . 6
98adantr 452 . . . . 5
10 letr 9159 . . . . 5
117, 3, 9, 10syl3anc 1184 . . . 4
125, 11mpand 657 . . 3
131nn0ge0d 10269 . . . . . 6
14 halfnneg2 10191 . . . . . . 7
152, 14syl 16 . . . . . 6
1613, 15mpbid 202 . . . . 5
17 flge0nn0 11217 . . . . 5
183, 16, 17syl2anc 643 . . . 4
19 simpl 444 . . . 4
20 facwordi 11572 . . . . 5
21203exp 1152 . . . 4
2218, 19, 21sylc 58 . . 3
23 faccl 11568 . . . . . . . 8
2423nncnd 10008 . . . . . . 7
2524mulid1d 9097 . . . . . 6
2625adantr 452 . . . . 5
27 faccl 11568 . . . . . . . 8
2827nnred 10007 . . . . . . 7
2928adantl 453 . . . . . 6
3023nnred 10007 . . . . . . . 8
3123nnnn0d 10266 . . . . . . . . 9
3231nn0ge0d 10269 . . . . . . . 8
3330, 32jca 519 . . . . . . 7
3433adantr 452 . . . . . 6
3527nnge1d 10034 . . . . . . 7
3635adantl 453 . . . . . 6
37 1re 9082 . . . . . . 7
38 lemul2a 9857 . . . . . . 7
3937, 38mp3anl1 1273 . . . . . 6
4029, 34, 36, 39syl21anc 1183 . . . . 5
4126, 40eqbrtrrd 4226 . . . 4
42 faccl 11568 . . . . . . 7
4318, 42syl 16 . . . . . 6
4443nnred 10007 . . . . 5
4530adantr 452 . . . . 5
46 remulcl 9067 . . . . . 6
4730, 28, 46syl2an 464 . . . . 5
48 letr 9159 . . . . 5
4944, 45, 47, 48syl3anc 1184 . . . 4
5041, 49mpan2d 656 . . 3
5112, 22, 503syld 53 . 2
52 nn0re 10222 . . . . . 6
5352adantl 453 . . . . 5
54 letr 9159 . . . . 5
557, 3, 53, 54syl3anc 1184 . . . 4
565, 55mpand 657 . . 3
57 simpr 448 . . . 4
58 facwordi 11572 . . . . 5
59583exp 1152 . . . 4
6018, 57, 59sylc 58 . . 3
6127nncnd 10008 . . . . . . 7
6261mulid2d 9098 . . . . . 6
6362adantl 453 . . . . 5
6427nnnn0d 10266 . . . . . . . . 9
6564nn0ge0d 10269 . . . . . . . 8
6628, 65jca 519 . . . . . . 7
6766adantl 453 . . . . . 6
6823nnge1d 10034 . . . . . . 7
6968adantr 452 . . . . . 6
70 lemul1a 9856 . . . . . . 7
7137, 70mp3anl1 1273 . . . . . 6
7245, 67, 69, 71syl21anc 1183 . . . . 5
7363, 72eqbrtrrd 4226 . . . 4
74 letr 9159 . . . . 5
7544, 29, 47, 74syl3anc 1184 . . . 4
7673, 75mpan2d 656 . . 3
7756, 60, 763syld 53 . 2
78 avgle 10201 . . 3
798, 52, 78syl2an 464 . 2
8051, 77, 79mpjaod 371 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cfl 11193  cfa 11558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fl 11194  df-seq 11316  df-fac 11559
 Copyright terms: Public domain W3C validator