MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faccl Unicode version

Theorem faccl 11388
Description: Closure of the factorial function. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
faccl  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )

Proof of Theorem faccl
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5605 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
21eleq1d 2424 . 2  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  0 )  e.  NN ) )
3 fveq2 5605 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
43eleq1d 2424 . 2  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  k )  e.  NN ) )
5 fveq2 5605 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
65eleq1d 2424 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
7 fveq2 5605 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
87eleq1d 2424 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  j
)  e.  NN  <->  ( ! `  N )  e.  NN ) )
9 fac0 11381 . . 3  |-  ( ! `
 0 )  =  1
10 1nn 9844 . . 3  |-  1  e.  NN
119, 10eqeltri 2428 . 2  |-  ( ! `
 0 )  e.  NN
12 facp1 11383 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
14 nn0p1nn 10092 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
15 nnmulcl 9856 . . . . 5  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
1614, 15sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1713, 16eqeltrd 2432 . . 3  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
1817expcom 424 . 2  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
192, 4, 6, 8, 11, 18nn0ind 10197 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829   NNcn 9833   NN0cn0 10054   !cfa 11378
This theorem is referenced by:  facne0  11389  facdiv  11390  facndiv  11391  facwordi  11392  faclbnd  11393  faclbnd2  11394  faclbnd3  11395  faclbnd4lem1  11396  faclbnd5  11401  faclbnd6  11402  facubnd  11403  facavg  11404  bcrpcl  11411  bccmpl  11412  bcn0  11413  bcn1  11415  bcm1k  11417  bcp1n  11418  bcval5  11420  permnn  11426  hashf1  11485  hashfac  11486  eftcl  12446  reeftcl  12447  eftabs  12448  efcllem  12450  ef0lem  12451  ege2le3  12462  efcj  12464  efaddlem  12465  eftlub  12480  effsumlt  12482  eflegeo  12492  ef01bndlem  12555  eirrlem  12573  dvdsfac  12674  prmfac1  12888  pcfac  13038  pcbc  13039  infpnlem1  13048  infpnlem2  13049  prmunb  13052  2expltfac  13196  gexcl3  14991  aaliou3lem1  19820  aaliou3lem2  19821  aaliou3lem3  19822  aaliou3lem8  19823  aaliou3lem5  19825  aaliou3lem6  19826  aaliou3lem7  19827  aaliou3lem9  19828  taylfvallem1  19834  tayl0  19839  taylply2  19845  taylply  19846  dvtaylp  19847  taylthlem2  19851  advlogexp  20107  birthdaylem2  20352  wilthlem3  20414  wilth  20415  chtublem  20556  logfacubnd  20566  logfaclbnd  20567  logfacbnd3  20568  logfacrlim  20569  logexprlim  20570  bcmono  20622  bposlem3  20631  vmadivsum  20737  subfacval2  24122  subfaclim  24123  subfacval3  24124  4bc2eq6  24505  faclim2  24659  wallispi2lem2  27144  stirlinglem2  27147  stirlinglem3  27148  stirlinglem4  27149  stirlinglem13  27158  stirlinglem14  27159  stirlinglem15  27160  stirlingr  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-seq 11136  df-fac 11379
  Copyright terms: Public domain W3C validator