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Theorem facdiv 11580
Description: A natural number divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  0 ) )
2 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
32oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 0 )  /  N ) )
43eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  0 )  /  N )  e.  NN ) )
51, 4imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  0  ->  ( ( ! ` 
0 )  /  N
)  e.  NN ) ) )
65imbi2d 309 . . 3  |-  ( j  =  0  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  ( ( ! `  0 )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  k ) )
8 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 k )  /  N ) )
109eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN ) )
117, 10imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN ) ) )
1211imbi2d 309 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
13 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  ( k  +  1 ) ) )
14 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1514oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 ( k  +  1 ) )  /  N ) )
1615eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
1713, 16imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( ! `
 ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
1817imbi2d 309 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
19 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  ( N  <_  j  <->  N  <_  M ) )
20 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  M ) )
2120oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ! `  j
)  /  N )  =  ( ( ! `
 M )  /  N ) )
2221eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( j  =  M  ->  (
( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN  <->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN ) )
2319, 22imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  M  ->  (
( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN )  <-> 
( N  <_  M  ->  ( ( ! `  M )  /  N
)  e.  NN ) ) )
2423imbi2d 309 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  (
( N  e.  NN  ->  ( N  <_  j  ->  ( ( ! `  j )  /  N
)  e.  NN ) )  <->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  M  ->  ( ( ! `  M )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
25 nngt0 10031 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
26 0re 9093 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
27 nnre 10009 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
28 ltnle 9157 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
2926, 27, 28sylancr 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <  N  <->  -.  N  <_  0 ) )
3025, 29mpbid 203 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  <_  0 )
3130pm2.21d 101 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
( ! `  0
)  /  N )  e.  NN ) )
32 peano2nn0 10262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3332nn0red 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
34 leloe 9163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( N  < 
( k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3527, 33, 34syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( N  <  (
k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) ) ) )
36 nnnn0 10230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
37 nn0leltp1 10335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  <->  N  <  ( k  +  1 ) ) )
3836, 37sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  <->  N  <  ( k  +  1 ) ) )
39 nn0p1nn 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
40 nnmulcl 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  /  N )  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
4139, 40sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
4241expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  k
)  /  N )  e.  NN  ->  (
( ( ! `  k )  /  N
)  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
4342adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  e.  NN  ->  ( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) )  e.  NN ) )
44 faccl 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  CC )
4645adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  CC )
4732nn0cnd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
4847adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  CC )
49 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
50 nnne0 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
5149, 50jca 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
53 div23 9699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  =  ( ( ( ! `
 k )  /  N )  x.  (
k  +  1 ) ) )
5446, 48, 52, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  =  ( ( ( ! `  k
)  /  N )  x.  ( k  +  1 ) ) )
5554eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN  <->  ( ( ( ! `  k )  /  N
)  x.  ( k  +  1 ) )  e.  NN ) )
5643, 55sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  /  N )  e.  NN  ->  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) )
5756imim2d 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
k  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
5857com23 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  k  ->  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
5938, 58sylbird 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
6049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  =/=  0 )
6246, 60, 61divcan4d 9798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  =  ( ! `
 k ) )
6344adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
6462, 63eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  e.  NN )
65 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  k
)  x.  N )  =  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
6665oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  k )  x.  N
)  /  N )  =  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( ! `
 k )  x.  N )  /  N
)  e.  NN  <->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
6864, 67syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
6968a1dd 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
7059, 69jaod 371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  < 
( k  +  1 )  \/  N  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) )
7135, 70sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( N  <_  k  ->  (
( ! `  k
)  /  N )  e.  NN )  -> 
( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
)  e.  NN ) ) )
7271ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  -> 
( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7372com34 80 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7473com12 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
7574imp4d 577 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  /\  N  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
76 facp1 11573 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
7776oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  =  ( ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  /  N
) )
7877eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN  <->  ( (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
7975, 78sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( N  <_ 
k  ->  ( ( ! `  k )  /  N )  e.  NN )  /\  N  <_  (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( ! `  (
k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) )
8079exp4d 594 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  (
( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k )  /  N
)  e.  NN )  ->  ( N  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
8180a2d 25 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  k  ->  ( ( ! `  k
)  /  N )  e.  NN ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( k  +  1 )  ->  ( ( ! `  ( k  +  1 ) )  /  N )  e.  NN ) ) ) )
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 10368 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  M  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN ) ) )
83823imp 1148 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  M )  ->  (
( ! `  M
)  /  N )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   NNcn 10002   NN0cn0 10223   !cfa 11568
This theorem is referenced by:  facndiv  11581  eirrlem  12805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-seq 11326  df-fac 11569
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