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Theorem faclbnd3 11575
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10215 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 nnre 9999 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
4 nnge1 10018 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  M )
6 nn0z 10296 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
8 uzid 10492 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
9 peano2uz 10522 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
107, 8, 93syl 19 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
113, 5, 10leexp2ad 11547 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( M ^ ( N  + 
1 ) ) )
12 nnnn0 10220 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
13 faclbnd 11573 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
1412, 13sylan 458 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
15 nn0re 10222 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
16 reexpcl 11390 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
1715, 16sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
18 peano2nn0 10252 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 reexpcl 11390 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2015, 18, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
21 reexpcl 11390 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  RR )
2215, 21mpancom 651 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
23 faccl 11568 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2423nnred 10007 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
25 remulcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
2622, 24, 25syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
27 letr 9159 . . . . . 6  |-  ( ( ( M ^ N
)  e.  RR  /\  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2912, 28sylan 458 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3011, 14, 29mp2and 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
31 elnn0 10215 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32 0exp 11407 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
33 0le1 9543 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
3432, 33syl6eqbr 4241 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
35 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
36 0cn 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
37 exp0 11378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0 ^ 0 )  =  1 )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
39 1le1 9642 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
4038, 39eqbrtri 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 0 )  <_ 
1
4135, 40syl6eqbr 4241 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
4234, 41jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0 ^ N )  <_  1
)
4331, 42sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
1 )
44 1nn 10003 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
45 nnmulcl 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
4644, 23, 45sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4746nnge1d 10034 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
48 0re 9083 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
49 reexpcl 11390 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ N
)  e.  RR )
5048, 49mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  e.  RR )
51 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
52 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5351, 24, 52sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
54 letr 9159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
1  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 0 ^ N )  <_ 
1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
5551, 54mp3an2 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 0 ^ N )  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
0 ^ N )  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5650, 53, 55syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 0 ^ N
)  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5743, 47, 56mp2and 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
5857adantl 453 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) )
59 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
60 oveq12 6082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6160anidms 627 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6261, 38syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  1 )
6362oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )
6459, 63breq12d 4217 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
6564adantr 452 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  <-> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
6658, 65mpbird 224 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
6730, 66jaoian 760 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
681, 67sylanb 459 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ^cexp 11374   !cfa 11558
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559
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