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Theorem faclbnd3 11321
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9983 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 nnre 9769 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
4 nnge1 9788 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  M )
6 nn0z 10062 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
8 uzid 10258 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
9 peano2uz 10288 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
113, 5, 10leexp2ad 11293 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( M ^ ( N  + 
1 ) ) )
12 nnnn0 9988 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
13 faclbnd 11319 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
1412, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
15 nn0re 9990 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
16 reexpcl 11136 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
1715, 16sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
18 peano2nn0 10020 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 reexpcl 11136 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2015, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
21 reexpcl 11136 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  RR )
2215, 21mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
23 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2423nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
25 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
2622, 24, 25syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
27 letr 8930 . . . . . 6  |-  ( ( ( M ^ N
)  e.  RR  /\  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2912, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3011, 14, 29mp2and 660 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
31 elnn0 9983 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32 0exp 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
33 0le1 9313 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
3432, 33syl6eqbr 4076 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
35 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
36 0cn 8847 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
37 exp0 11124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0 ^ 0 )  =  1 )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
39 1le1 9412 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
4038, 39eqbrtri 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 0 )  <_ 
1
4135, 40syl6eqbr 4076 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
4234, 41jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0 ^ N )  <_  1
)
4331, 42sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
1 )
44 1nn 9773 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
45 nnmulcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
4644, 23, 45sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4746nnge1d 9804 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
48 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
49 reexpcl 11136 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ N
)  e.  RR )
5048, 49mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  e.  RR )
51 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
52 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5351, 24, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
54 letr 8930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
1  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 0 ^ N )  <_ 
1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
5551, 54mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 0 ^ N )  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
0 ^ N )  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5650, 53, 55syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 0 ^ N
)  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5743, 47, 56mp2and 660 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
5857adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) )
59 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
60 oveq12 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6160anidms 626 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6261, 38syl6eq 2344 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  1 )
6362oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )
6459, 63breq12d 4052 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
6564adantr 451 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  <-> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
6658, 65mpbird 223 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
6730, 66jaoian 759 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
681, 67sylanb 458 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
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