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Theorem faclbnd3 11305
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9967 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 nnre 9753 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
4 nnge1 9772 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  M )
6 nn0z 10046 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
8 uzid 10242 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
9 peano2uz 10272 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
113, 5, 10leexp2ad 11277 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( M ^ ( N  + 
1 ) ) )
12 nnnn0 9972 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
13 faclbnd 11303 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
1412, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
15 nn0re 9974 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
16 reexpcl 11120 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
1715, 16sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
18 peano2nn0 10004 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 reexpcl 11120 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2015, 18, 19syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
21 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  RR )
2215, 21mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
23 faccl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2423nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
25 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
2622, 24, 25syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
27 letr 8914 . . . . . 6  |-  ( ( ( M ^ N
)  e.  RR  /\  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2912, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3011, 14, 29mp2and 660 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
31 elnn0 9967 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32 0exp 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
33 0le1 9297 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
3432, 33syl6eqbr 4060 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
35 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
36 0cn 8831 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  CC
37 exp0 11108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0 ^ 0 )  =  1 )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
39 1le1 9396 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
4038, 39eqbrtri 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 0 )  <_ 
1
4135, 40syl6eqbr 4060 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
4234, 41jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0 ^ N )  <_  1
)
4331, 42sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
1 )
44 1nn 9757 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
45 nnmulcl 9769 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
4644, 23, 45sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4746nnge1d 9788 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
48 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
49 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ N
)  e.  RR )
5048, 49mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  e.  RR )
51 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
52 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5351, 24, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
54 letr 8914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
1  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 0 ^ N )  <_ 
1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
5551, 54mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 0 ^ N )  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
0 ^ N )  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5650, 53, 55syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 0 ^ N
)  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5743, 47, 56mp2and 660 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
5857adantl 452 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) )
59 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
60 oveq12 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6160anidms 626 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6261, 38syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  1 )
6362oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )
6459, 63breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
6564adantr 451 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  <-> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
6658, 65mpbird 223 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
6730, 66jaoian 759 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
681, 67sylanb 458 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104   !cfa 11288
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289
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