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Theorem faclbnd4lem1 11615
Description: Lemma for faclbnd4 11619. Prepare the induction step. (Contributed by NM, 20-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
faclbnd4lem1.1  |-  N  e.  NN
faclbnd4lem1.2  |-  K  e. 
NN0
faclbnd4lem1.3  |-  M  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem1  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem1
StepHypRef Expression
1 faclbnd4lem1.1 . . . 4  |-  N  e.  NN
21nnrei 10040 . . 3  |-  N  e.  RR
3 1re 9121 . . 3  |-  1  e.  RR
4 lelttric 9211 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <_  1  \/  1  <  N ) )
52, 3, 4mp2an 655 . 2  |-  ( N  <_  1  \/  1  <  N )
6 nnge1 10057 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
71, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  1  <_  N
82, 3letri3i 9220 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  <->  ( N  <_  1  /\  1  <_  N ) )
97, 8mpbiran2 887 . . . . 5  |-  ( N  =  1  <->  N  <_  1 )
10 0le1 9582 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
113, 10pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )
12 2re 10100 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
13 faclbnd4lem1.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e. 
NN0
14 1nn 10042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
15 nn0nnaddcl 10283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN )
1613, 14, 15mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  +  1 )  e.  NN
1716nnnn0i 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  +  1 )  e. 
NN0
18 2nn0 10269 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
1917, 18nn0expcli 11438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e. 
NN0
20 reexpcl 11429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( K  + 
1 ) ^ 2 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
2112, 19, 20mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  e.  RR
2211, 21pm3.2i 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
23 faclbnd4lem1.3 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e. 
NN0
2423nn0rei 10263 . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  RR
2523nn0ge0i 10280 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  M
2624, 25pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )
27 nn0nnaddcl 10283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  +  1
)  e.  NN )  ->  ( M  +  ( K  +  1
) )  e.  NN )
2823, 16, 27mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  +  ( K  + 
1 ) )  e.  NN
2928nnnn0i 10260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  +  ( K  + 
1 ) )  e. 
NN0
3023, 29nn0expcli 11438 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  e. 
NN0
3130nn0rei 10263 . . . . . . . . 9  |-  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  e.  RR
3226, 31pm3.2i 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
3322, 32pm3.2i 443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  e.  RR ) )
34 2cn 10101 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
35 exp0 11417 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
37 1lt2 10173 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
383, 12, 37ltleii 9227 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  2
39 nn0uz 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4019, 39eleqtri 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
41 leexp2a 11466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )  ->  (
2 ^ 0 )  <_  ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
4212, 38, 40, 41mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 0 )  <_ 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )
4336, 42eqbrtrri 4258 . . . . . . . 8  |-  1  <_  ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )
44 elnn0 10254 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
45 nncn 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
4645exp1d 11549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  =  M )
47 nnge1 10057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
48 nnuz 10552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4928, 48eleqtri 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  +  ( K  + 
1 ) )  e.  ( ZZ>= `  1 )
50 leexp2a 11466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  <_  M  /\  ( M  +  ( K  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5124, 49, 50mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <_  M  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5247, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ 1 )  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5346, 52eqbrtrrd 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5430nn0ge0i 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )
55 breq1 4240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  0  ->  ( M  <_  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  <->  0  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) ) ) )
5654, 55mpbiri 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  0  ->  M  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5753, 56jaoi 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  M  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )
5844, 57sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
5923, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  M  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )
6043, 59pm3.2i 443 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  /\  M  <_  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )
61 lemul12a 9899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  (
2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )  /\  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  /\  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  /\  M  <_ 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  ->  (
1  x.  M )  <_  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) ) ) )
6233, 60, 61mp2 9 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  M )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )
63 oveq1 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( N ^ ( K  + 
1 ) )  =  ( 1 ^ ( K  +  1 ) ) )
6416nnzi 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  +  1 )  e.  ZZ
65 1exp 11440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( K  +  1 ) )  =  1 )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ ( K  + 
1 ) )  =  1
6763, 66syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( N ^ ( K  + 
1 ) )  =  1 )
68 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( M ^ N )  =  ( M ^ 1 ) )
6923nn0cni 10264 . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  CC
70 exp1 11418 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  CC  ->  ( M ^ 1 )  =  M )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( M ^ 1 )  =  M
7268, 71syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  ( M ^ N )  =  M )
7367, 72oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( 1  x.  M ) )
74 fveq2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
1 ) )
75 fac1 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ! `
 1 )  =  1
7674, 75syl6eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  1  ->  ( ! `  N )  =  1 )
7776oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  1 ) )
7821recni 9133 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  e.  CC
7930nn0cni 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  e.  CC
8078, 79mulcli 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  e.  CC
8180mulid1i 9123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )
8277, 81syl6eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) ) )
8373, 82breq12d 4250 . . . . . 6  |-  ( N  =  1  ->  (
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 1  x.  M )  <_ 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) ) ) )
8462, 83mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
859, 84sylbir 206 . . . 4  |-  ( N  <_  1  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
8685adantr 453 . . 3  |-  ( ( N  <_  1  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
87 reexpcl 11429 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( K  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( N ^ ( K  +  1 ) )  e.  RR )
882, 17, 87mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( N ^ ( K  + 
1 ) )  e.  RR
891nnnn0i 10260 . . . . . . . 8  |-  N  e. 
NN0
90 reexpcl 11429 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
9124, 89, 90mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( M ^ N )  e.  RR
9288, 91remulcli 9135 . . . . . 6  |-  ( ( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR )
9413, 18nn0expcli 11438 . . . . . . . . 9  |-  ( K ^ 2 )  e. 
NN0
95 reexpcl 11429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  RR )
9612, 94, 95mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  RR
9718, 13nn0expcli 11438 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ K )  e. 
NN0
9897nn0rei 10263 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ K )  e.  RR
9996, 98remulcli 9135 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  e.  RR
100 faccl 11607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
10189, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ! `
 N )  e.  NN
102101nnnn0i 10260 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 N )  e. 
NN0
10330, 102nn0mulcli 10289 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e. 
NN0
104103nn0rei 10263 . . . . . . 7  |-  ( ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR
10599, 104remulcli 9135 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR
106105a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) )  x.  (
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  e.  RR )
10721, 104remulcli 9135 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  e.  RR
108107a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  e.  RR )
1091nncni 10041 . . . . . . . . 9  |-  N  e.  CC
110 expp1 11419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ ( K  +  1 ) )  =  ( ( N ^ K )  x.  N ) )
111109, 13, 110mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ ( K  + 
1 ) )  =  ( ( N ^ K )  x.  N
)
112 expm1t 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( M ^ N
)  =  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )
11369, 1, 112mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( M ^ N )  =  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
)
114111, 113oveq12i 6122 . . . . . . 7  |-  ( ( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( ( N ^ K )  x.  N )  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )
115 reexpcl 11429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
1162, 13, 115mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( N ^ K )  e.  RR
117116recni 9133 . . . . . . . 8  |-  ( N ^ K )  e.  CC
118 elnnnn0 10294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e. 
NN0 ) )
1191, 118mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
120119simpri 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  e. 
NN0
12123, 120nn0expcli 11438 . . . . . . . . . 10  |-  ( M ^ ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0
122121, 23nn0mulcli 10289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M )  e. 
NN0
123122nn0cni 10264 . . . . . . . 8  |-  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M )  e.  CC
124117, 109, 123mulassi 9130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N ^ K
)  x.  N )  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) )  =  ( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )
125114, 124eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( ( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )
12689, 122nn0mulcli 10289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) )  e. 
NN0
127126nn0rei 10263 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) )  e.  RR
128116, 127remulcli 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) ) )  e.  RR
129128a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  e.  RR )
130120nn0rei 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  -  1 )  e.  RR
131 reexpcl 11429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  e.  RR )
132130, 13, 131mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  1 ) ^ K )  e.  RR
133121nn0rei 10263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M ^ ( N  - 
1 ) )  e.  RR
134132, 133remulcli 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  e.  RR
13597, 89nn0mulcli 10289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ K )  x.  N )  e. 
NN0
136135, 23nn0mulcli 10289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  M )  e. 
NN0
137136nn0rei 10263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  M )  e.  RR
138134, 137remulcli 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M ) )  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) )  e.  RR )
14023, 13nn0addcli 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  +  K )  e. 
NN0
141 reexpcl 11429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  RR )
14224, 140, 141mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  RR
14396, 142remulcli 9135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  RR
144 faccl 11607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN )
145120, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  NN
146145nnrei 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  RR
147143, 146remulcli 9135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR
148147, 137remulcli 9135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) )  e.  RR
149148a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) )  e.  RR )
15098, 132remulcli 9135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ K )  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) )  e.  RR
151126nn0ge0i 10280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( N  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )
152127, 151pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  x.  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) ) )
153116, 150, 1523pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N ^ K )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ K
)  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) )  e.  RR  /\  (
( N  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) ) ) )
154 nnltp1le 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
15514, 1, 154mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
156 df-2 10089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
157156breq1i 4244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
158155, 157bitr4i 245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  N  <->  2  <_  N )
159 expubnd 11471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0  /\  2  <_  N )  ->  ( N ^ K )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  (
( N  -  1 ) ^ K ) ) )
1602, 13, 159mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <_  N  ->  ( N ^ K )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  (
( N  -  1 ) ^ K ) ) )
161158, 160sylbi 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  N  ->  ( N ^ K )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  (
( N  -  1 ) ^ K ) ) )
162 lemul1a 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N ^ K )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ K )  x.  (
( N  -  1 ) ^ K ) )  e.  RR  /\  ( ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) ) ) )  /\  ( N ^ K )  <_  (
( 2 ^ K
)  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) ) )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ K )  x.  (
( N  -  1 ) ^ K ) )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) ) )
163153, 161, 162sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <  N  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ K )  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) )  x.  ( N  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) ) ) )
16497nn0cni 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ K )  e.  CC
165132recni 9133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  1 ) ^ K )  e.  CC
166164, 165, 109, 123mul4i 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) )  x.  ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) ) )  =  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  (
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) ) )
167121nn0cni 10264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M ^ ( N  - 
1 ) )  e.  CC
168165, 167, 69mulassi 9130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  M )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  (
( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) )
169168oveq2i 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  (
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( ( M ^ ( N  -  1 ) )  x.  M ) ) )
170135nn0cni 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ K )  x.  N )  e.  CC
171134recni 9133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  e.  CC
172170, 171, 69mul12i 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  x.  M ) )  =  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) )
173166, 169, 1723eqtr2i 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  ( ( N  -  1 ) ^ K ) )  x.  ( N  x.  ( ( M ^
( N  -  1 ) )  x.  M
) ) )  =  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) )
174163, 173syl6breq 4276 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  <  N  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  <_  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) ) )
175174adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  <_  ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) ) )
176136nn0ge0i 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
)
177137, 176pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) )
178134, 147, 1773pm3.2i 1133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) ) )
179 lemul1a 9895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  M ) ) )  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M ) )  <_ 
( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) ) )
180178, 179mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M ) )  <_ 
( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) ) )
181180adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) )  <_  ( (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) ) )
182129, 139, 149, 175, 181letrd 9258 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  <_  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  N
)  x.  M ) ) )
183164, 109, 69mul32i 9293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  N )  x.  M )  =  ( ( ( 2 ^ K )  x.  M )  x.  N
)
184183oveq2i 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K
)  x.  M )  x.  N ) )
185 expp1 11419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  CC  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ (
( M  +  K
)  +  1 ) )  =  ( ( M ^ ( M  +  K ) )  x.  M ) )
18669, 140, 185mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M ^ ( ( M  +  K )  +  1 ) )  =  ( ( M ^
( M  +  K
) )  x.  M
)
18713nn0cni 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  K  e.  CC
188 ax-1cn 9079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
18969, 187, 188addassi 9129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  +  K )  +  1 )  =  ( M  +  ( K  +  1 ) )
190189oveq2i 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M ^ ( ( M  +  K )  +  1 ) )  =  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )
191186, 190eqtr3i 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M ^ ( M  +  K ) )  x.  M )  =  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )
192191oveq2i 6121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  K
) )  x.  M
) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )
19396recni 9133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  CC
194142recni 9133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  CC
195193, 164, 194, 69mul4i 9294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  K
) )  x.  M
) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ( 2 ^ K )  x.  M ) )
196192, 195eqtr3i 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ( 2 ^ K )  x.  M ) )
197 facnn2 11606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  ( ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  x.  N ) )
1981, 197ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ! `
 N )  =  ( ( ! `  ( N  -  1
) )  x.  N
)
199196, 198oveq12i 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ( 2 ^ K )  x.  M
) )  x.  (
( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
200143recni 9133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  CC
201145nncni 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ! `
 ( N  - 
1 ) )  e.  CC
202164, 69mulcli 9126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ K )  x.  M )  e.  CC
203200, 201, 202, 109mul4i 9294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  M )  x.  N
) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  (
( 2 ^ K
)  x.  M ) )  x.  ( ( ! `  ( N  -  1 ) )  x.  N ) )
204199, 203eqtr4i 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  x.  (
( ( 2 ^ K )  x.  M
)  x.  N ) )
20599recni 9133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  e.  CC
206101nncni 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 N )  e.  CC
207205, 79, 206mulassi 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) )  x.  (
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
208184, 204, 2073eqtr2i 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  x.  ( ( ( 2 ^ K )  x.  N )  x.  M
) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
209182, 208syl6breq 4276 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( N  x.  ( ( M ^ ( N  - 
1 ) )  x.  M ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
210125, 209syl5eqbr 4270 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
211103nn0ge0i 10280 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
)
212104, 211pm3.2i 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )
21399, 21, 2123pm3.2i 1133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
214 expadd 11453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0  /\  K  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ ( ( K ^ 2 )  +  K ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) ) )
21534, 94, 13, 214mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ ( ( K ^ 2 )  +  K ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  (
2 ^ K ) )
21619nn0zi 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ZZ
21713nn0rei 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  e.  RR
21816nnrei 10040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  +  1 )  e.  RR
21917nn0ge0i 10280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  ( K  +  1 )
220218, 219pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( K  +  1 ) )
221217, 218, 2203pm3.2i 1133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  RR  /\  ( K  +  1 )  e.  RR  /\  (
( K  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( K  + 
1 ) ) )
222217ltp1i 9945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  < 
( K  +  1 )
223217, 218, 222ltleii 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  <_ 
( K  +  1 )
224 lemul1a 9895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  ( K  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( K  + 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( K  +  1 ) ) )  /\  K  <_ 
( K  +  1 ) )  ->  ( K  x.  ( K  +  1 ) )  <_  ( ( K  +  1 )  x.  ( K  +  1 ) ) )
225221, 223, 224mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  ( K  + 
1 ) )  <_ 
( ( K  + 
1 )  x.  ( K  +  1 ) )
226187sqvali 11492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K
)
227187mulid1i 9123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  x.  1 )  =  K
228227eqcomi 2446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( K  x.  1 )
229226, 228oveq12i 6122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K ^ 2 )  +  K )  =  ( ( K  x.  K )  +  ( K  x.  1 ) )
230187, 187, 188adddii 9131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  x.  ( K  + 
1 ) )  =  ( ( K  x.  K )  +  ( K  x.  1 ) )
231229, 230eqtr4i 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K ^ 2 )  +  K )  =  ( K  x.  ( K  +  1 ) )
23216nncni 10041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  +  1 )  e.  CC
233232sqvali 11492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( K  + 
1 )  x.  ( K  +  1 ) )
234225, 231, 2333brtr4i 4265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K ^ 2 )  +  K )  <_ 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 )
23594, 13nn0addcli 10288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K ^ 2 )  +  K )  e. 
NN0
236235nn0zi 10337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K ^ 2 )  +  K )  e.  ZZ
237236eluz1i 10526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ( ZZ>= `  (
( K ^ 2 )  +  K ) )  <->  ( ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( K ^ 2 )  +  K )  <_ 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
238216, 234, 237mpbir2an 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( K ^ 2 )  +  K ) )
239 leexp2a 11466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <_  2  /\  (
( K  +  1 ) ^ 2 )  e.  ( ZZ>= `  (
( K ^ 2 )  +  K ) ) )  ->  (
2 ^ ( ( K ^ 2 )  +  K ) )  <_  ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) ) )
24012, 38, 238, 239mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ ( ( K ^ 2 )  +  K ) )  <_ 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )
241215, 240eqbrtrri 4258 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  <_ 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )
242 lemul1a 9895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) )  e.  RR  /\  ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )  /\  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) )  <_  (
2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) ) )  ->  ( (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <_  (
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
243213, 241, 242mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( 2 ^ K ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <_  (
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  ( K  + 
1 ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
244243a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( 2 ^ K
) )  x.  (
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )  <_  ( (
2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
24593, 106, 108, 210, 244letrd 9258 . . . 4  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
24678, 79, 206mulassi 9130 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
247245, 246syl6breqr 4277 . . 3  |-  ( ( 1  <  N  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
24886, 247jaoian 761 . 2  |-  ( ( ( N  <_  1  \/  1  <  N )  /\  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
2495, 248mpan 653 1  |-  ( ( ( ( N  - 
1 ) ^ K
)  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   ZZ>=cuz 10519   ^cexp 11413   !cfa 11597
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem2  11616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598
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