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Theorem faclbnd4lem2 11548
Description: Lemma for faclbnd4 11551. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 11547 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6055 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )
21oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) ) )
3 id 20 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  ->  M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) )
4 oveq1 6055 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )
53, 4oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )
65oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) ) )
76oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
82, 7breq12d 4193 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
9 oveq1 6055 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ N
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )
109oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
11 oveq1 6055 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) )
123, 11oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )
1312oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) ) )
1413oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
1510, 14breq12d 4193 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
168, 15imbi12d 312 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) ) )
17 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  =  ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
1817oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
19 oveq1 6055 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K ^ 2 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^
2 ) ) )
21 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
2221oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 ) ) ) )
2320, 22oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) ) )
2423oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
2518, 24breq12d 4193 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
26 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )
2726oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( N ^ ( K  +  1 ) )  =  ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
2926oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )
3029oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) ) )
3126oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ) )
3231oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )
3330, 32oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
3528, 34breq12d 4193 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3625, 35imbi12d 312 . 2  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
37 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  -  1 )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) )
3837oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
3937oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4038, 39oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4137fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  =  ( ! `
 ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4241oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4340, 42breq12d 4193 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) ) )
44 oveq1 6055 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
45 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4644, 45oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N ^
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
47 fveq2 5695 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ! `
 if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4847oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
4946, 48breq12d 4193 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  <->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
5043, 49imbi12d 312 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <->  ( (
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) ) )
51 1nn 9975 . . . 4  |-  1  e.  NN
5251elimel 3759 . . 3  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
53 1nn0 10201 . . . 4  |-  1  e.  NN0
5453elimel 3759 . . 3  |-  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  e.  NN0
5553elimel 3759 . . 3  |-  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  e.  NN0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 11547 . 2  |-  ( ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
5716, 36, 50, 56dedth3h 3750 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3707   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ^cexp 11345   !cfa 11529
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530
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