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Theorem faclbnd4lem2 11616
Description: Lemma for faclbnd4 11619. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 11615 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6117 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )
21oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) ) )
3 id 21 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  ->  M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) )
4 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )
53, 4oveq12d 6128 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )
65oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) ) )
76oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
82, 7breq12d 4250 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
9 oveq1 6117 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ N
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )
109oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
11 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) )
123, 11oveq12d 6128 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )
1312oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) ) )
1413oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
1510, 14breq12d 4250 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
168, 15imbi12d 313 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) ) )
17 oveq2 6118 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  =  ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
1817oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
19 oveq1 6117 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K ^ 2 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^
2 ) ) )
21 oveq2 6118 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
2221oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 ) ) ) )
2320, 22oveq12d 6128 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) ) )
2423oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
2518, 24breq12d 4250 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
26 oveq1 6117 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )
2726oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( N ^ ( K  +  1 ) )  =  ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
2926oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )
3029oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) ) )
3126oveq2d 6126 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ) )
3231oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )
3330, 32oveq12d 6128 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
3528, 34breq12d 4250 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3625, 35imbi12d 313 . 2  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
37 oveq1 6117 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  -  1 )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) )
3837oveq1d 6125 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
3937oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4038, 39oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4137fveq2d 5761 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  =  ( ! `
 ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4241oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4340, 42breq12d 4250 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) ) )
44 oveq1 6117 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
45 oveq2 6118 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4644, 45oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N ^
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
47 fveq2 5757 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ! `
 if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4847oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
4946, 48breq12d 4250 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  <->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
5043, 49imbi12d 313 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <->  ( (
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) ) )
51 1nn 10042 . . . 4  |-  1  e.  NN
5251elimel 3815 . . 3  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
53 1nn0 10268 . . . 4  |-  1  e.  NN0
5453elimel 3815 . . 3  |-  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  e.  NN0
5553elimel 3815 . . 3  |-  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  e.  NN0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 11615 . 2  |-  ( ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
5716, 36, 50, 56dedth3h 3806 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   ifcif 3763   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    <_ cle 9152    - cmin 9322   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ^cexp 11413   !cfa 11597
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598
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