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Theorem faclbnd4lem2 11307
Description: Lemma for faclbnd4 11310. Use the weak deduction theorem to convert the hypotheses of faclbnd4lem1 11306 to antecedents. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )
21oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) ) )
3 id 19 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  ->  M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) )
4 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  K
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )
53, 4oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )
65oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) ) )
76oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) )
82, 7breq12d 4036 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) ) ) )
9 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ N
)  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )
109oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
11 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) )
123, 11oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )
1312oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) ) )
1413oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  =  ( ( ( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
1510, 14breq12d 4036 . . 3  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
168, 15imbi12d 311 . 2  |-  ( M  =  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( K  +  1
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) ) ) )
17 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ K
)  =  ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
1817oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
19 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K ^ 2 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^
2 ) ) )
21 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 ) ) ) )
2320, 22oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) ) )
2423oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) )
2518, 24breq12d 4036 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1
) ) )  <->  ( (
( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) ) ) )
26 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( K  +  1 )  =  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )
2726oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( N ^ ( K  +  1 ) )  =  ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
2827oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( N ^
( K  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) ) )
2926oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( K  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )
3029oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( 2 ^ (
( K  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) ) )
3126oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 )  +  ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ) )
3231oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) )  =  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )
3330, 32oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( 2 ^ ( ( K  + 
1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) ) )
3433oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) ) )
3528, 34breq12d 4036 . . 3  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  <->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3625, 35imbi12d 311 . 2  |-  ( K  =  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  K ) ) )  x.  ( ! `
 ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( K  + 
1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )  <-> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) ) ) )
37 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N  -  1 )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) )
3837oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  - 
1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) )
3937oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( N  -  1 ) )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4038, 39oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4137fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  ( N  -  1 ) )  =  ( ! `
 ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )
4241oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) )
4340, 42breq12d 4036 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N , 
1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) ) ) )
44 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  =  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) )
45 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N )  =  ( if ( M  e. 
NN0 ,  M , 
1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4644, 45oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( N ^
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  =  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
47 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ! `  N
)  =  ( ! `
 if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )
4847oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^
( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
4946, 48breq12d 4036 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
)  <->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) )
5043, 49imbi12d 311 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( ( ( N  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( if ( K  e. 
NN0 ,  K , 
1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N )
) )  <->  ( (
( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) ) ) )
51 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
5251elimel 3617 . . 3  |-  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  e.  NN
53 1nn0 9981 . . . 4  |-  1  e.  NN0
5453elimel 3617 . . 3  |-  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  e.  NN0
5553elimel 3617 . . 3  |-  if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  e.  NN0
5652, 54, 55faclbnd4lem1 11306 . 2  |-  ( ( ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ^ if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ^ ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) )  <_  ( (
( 2 ^ (
( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 ) ^ ( if ( M  e.  NN0 ,  M ,  1 )  +  ( if ( K  e.  NN0 ,  K ,  1 )  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  if ( N  e.  NN ,  N ,  1 ) ) ) )
5716, 36, 50, 56dedth3h 3608 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( ( N  -  1 ) ^ K )  x.  ( M ^ ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N ^ ( K  +  1 ) )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( K  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( K  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   !cfa 11288
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289
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