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Theorem faclbnd4lem3 11355
Description: Lemma for faclbnd4 11357. The  N  =  0 case. (Contributed by NM, 23-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem3
StepHypRef Expression
1 elnn0 10014 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0 ) )
2 0exp 11184 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  (
0 ^ K )  =  0 )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0 ^ K
)  =  0 )
4 nnnn0 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
5 2nn0 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN0
6 nn0expcl 11164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN0 )
75, 6mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
8 nn0expcl 11164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN0 )
95, 7, 8sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e. 
NN0 )
109adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN0 )
11 nn0addcl 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
12 nn0expcl 11164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN0 )
1311, 12syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN0 )
1410, 13nn0mulcld 10070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN0 )
154, 14sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10068 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
173, 16eqbrtrd 4080 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN )  ->  ( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
18 1nn 9802 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
19 elnn0 10014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
20 nnnn0 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
21 0nn0 10027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
22 nn0addcl 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( M  +  0 )  e.  NN0 )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  0 )  e.  NN0 )
24 nnexpcl 11163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  0
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  0 ) )  e.  NN )
2523, 24mpdan 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
26 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  0  ->  M  =  0 )
27 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  =  0  ->  ( M  +  0 )  =  ( 0  +  0 ) )
28 00id 9032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2927, 28syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  0  ->  ( M  +  0 )  =  0 )
3026, 29oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  =  ( 0 ^ 0 ) )
31 0cn 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
32 exp0 11155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
0 ^ 0 )  =  1 )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
3430, 33syl6eq 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  =  1 )
3534, 18syl6eqel 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
3625, 35jaoi 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0 )  ->  ( M ^
( M  +  0 ) )  e.  NN )
3719, 36sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  e.  NN )
38 nnmulcl 9814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  0 ) )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  e.  NN )
3918, 37, 38sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) )  e.  NN )
4039nnge1d 9833 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  1  <_  (
1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
42 oveq2 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  (
0 ^ K )  =  ( 0 ^ 0 ) )
4342, 33syl6eq 2364 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
0 ^ K )  =  1 )
44 sq0i 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  0  ->  ( K ^ 2 )  =  0 )
4544oveq2d 5916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ 0 ) )
46 2cn 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
47 exp0 11155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
4945, 48syl6eq 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  =  1 )
50 oveq2 5908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =  0  ->  ( M  +  K )  =  ( M  + 
0 ) )
5150oveq2d 5916 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  =  0  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  =  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )
5249, 51oveq12d 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  0  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  =  ( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) )
5343, 52breq12d 4073 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  0  ->  (
( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  <->  1  <_  ( 1  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) ) ) )
5453adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  ( ( 0 ^ K )  <_ 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  <->  1  <_  ( 1  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) ) ) )
5541, 54mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  =  0 )  ->  ( 0 ^ K )  <_  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
5617, 55jaodan 760 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN  \/  K  =  0
) )  ->  (
0 ^ K )  <_  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )
571, 56sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ K
)  <_  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
58 nn0cn 10022 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
5958exp0d 11286 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ 0 )  =  1 )
6059oveq2d 5916 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  =  ( ( 0 ^ K )  x.  1 ) )
61 nn0expcl 11164 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ K
)  e.  NN0 )
6221, 61mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 0 ^ K )  e. 
NN0 )
6362nn0cnd 10067 . . . . . 6  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 0 ^ K )  e.  CC )
6463mulid1d 8897 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( 0 ^ K )  x.  1 )  =  ( 0 ^ K
) )
6560, 64sylan9eq 2368 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) )  =  ( 0 ^ K ) )
6614nn0cnd 10067 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
6766mulid1d 8897 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )
6857, 65, 673brtr4d 4090 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  1 ) )
6968adantr 451 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) )
70 oveq1 5907 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N ^ K )  =  ( 0 ^ K
) )
71 oveq2 5908 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( M ^ 0 ) )
7270, 71oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  =  ( ( 0 ^ K )  x.  ( M ^ 0 ) ) )
73 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
74 fac0 11338 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  =  1
7573, 74syl6eq 2364 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  1 )
7675oveq2d 5916 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) )
7772, 76breq12d 4073 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) ) )
7877adantl 452 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( (
0 ^ K )  x.  ( M ^
0 ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  1 ) ) )
7969, 78mpbird 223 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    <_ cle 8913   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ^cexp 11151   !cfa 11335
This theorem is referenced by:  faclbnd4lem4  11356  faclbnd4  11357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336
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