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Theorem faclbnd4lem4 11579
Description: Lemma for faclbnd4 11580. Prove the  0  <  N case by induction on  K. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd4lem4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd4lem4
Dummy variables  j  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n ^ j )  =  ( m ^
j ) )
2 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( M ^ n )  =  ( M ^ m
) )
31, 2oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( n ^ j
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) ) )
4 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  m ) )
54oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  m )
) )
63, 5breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n ^
j )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( (
m ^ j )  x.  ( M ^
m ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  m )
) ) )
76cbvralv 2924 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  NN  (
( n ^ j
)  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) ) )
8 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
10 lelttric 9172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( n  <_  1  \/  1  <  n ) )
118, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  <_  1  \/  1  <  n ) )
1211ancli 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( n  <_  1  \/  1  <  n ) ) )
13 andi 838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  <_  1  \/  1  <  n ) )  <->  ( ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  \/  (
n  e.  NN  /\  1  <  n ) ) )
1412, 13sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  \/  ( n  e.  NN  /\  1  < 
n ) ) )
15 nnge1 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  n )
1615adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  -> 
1  <_  n )
17 letri3 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( n  =  1  <-> 
( n  <_  1  /\  1  <_  n ) ) )
188, 9, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  <->  (
n  <_  1  /\  1  <_  n ) ) )
1918biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  <_  1  /\  1  <_  n )
)  ->  n  = 
1 )
2019anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  /\  1  <_  n
)  ->  n  = 
1 )
2116, 20mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  ->  n  =  1 )
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  (
n  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
23 1m1e0 10060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2422, 23syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  -  1 )  =  0 )
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 )  -> 
( n  -  1 )  =  0 )
26 faclbnd4lem3 11578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( n  -  1 )  =  0 )  ->  ( ( ( n  -  1 ) ^ j )  x.  ( M ^ (
n  -  1 ) ) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  ( n  -  1
) ) ) )
2725, 26sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 ) )  ->  ( (
( n  -  1 ) ^ j )  x.  ( M ^
( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  ( n  -  1 ) ) ) )
2827a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN  /\  n  <_  1 ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m ^ j
)  x.  ( M ^ m ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m
) )  ->  (
( ( n  - 
1 ) ^ j
)  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
29 1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN
30 nnsub 10030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  <  n  <->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
3129, 30mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  <  n  <->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
3231biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  1  <  n )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN )
33 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
m ^ j )  =  ( ( n  -  1 ) ^
j ) )
34 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  ( M ^ m )  =  ( M ^ (
n  -  1 ) ) )
3533, 34oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( m ^ j
)  x.  ( M ^ m ) )  =  ( ( ( n  -  1 ) ^ j )  x.  ( M ^ (
n  -  1 ) ) ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  ( ! `  m )  =  ( ! `  ( n  -  1
) ) )
3736oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  ( n  -  1 ) ) ) )
3835, 37breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( ( m ^
j )  x.  ( M ^ m ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m
) )  <->  ( (
( n  -  1 ) ^ j )  x.  ( M ^
( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
3938rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m ^
j )  x.  ( M ^ m ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m
) )  ->  (
( ( n  - 
1 ) ^ j
)  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
4032, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  1  <  n )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) )  -> 
( ( ( n  -  1 ) ^
j )  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( n  e.  NN  /\  1  <  n ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m ^ j
)  x.  ( M ^ m ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m
) )  ->  (
( ( n  - 
1 ) ^ j
)  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
4228, 41jaodan 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  ( ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
1 )  \/  (
n  e.  NN  /\  1  <  n ) ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m ^ j
)  x.  ( M ^ m ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m
) )  ->  (
( ( n  - 
1 ) ^ j
)  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
4314, 42sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) )  -> 
( ( ( n  -  1 ) ^
j )  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
44 faclbnd4lem2 11577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( ( n  -  1 ) ^
j )  x.  ( M ^ ( n  - 
1 ) ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  (
n  -  1 ) ) )  ->  (
( n ^ (
j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) ) )
45443expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ( n  -  1 ) ^ j )  x.  ( M ^
( n  -  1 ) ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  ( n  -  1 ) ) )  ->  ( (
n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^
n ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n )
) ) )
4643, 45syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) )  -> 
( ( n ^
( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) ) )
4746ralrimdva 2788 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m ^ j )  x.  ( M ^ m
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  m ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) ) )
487, 47syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A. n  e.  NN  ( ( n ^ j )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) ) )
4948expcom 425 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( A. n  e.  NN  (
( n ^ j
)  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n
) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) ) )
5049a2d 24 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  (
( n ^ j
)  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) ) ) )
51 nnnn0 10220 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
52 faclbnd3 11575 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M ^ n
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  n
) ) )
5351, 52sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( M ^ n
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  n
) ) )
54 nncn 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
5554exp0d 11509 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 0 )  =  1 )
5655oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 0 )  x.  ( M ^ n ) )  =  ( 1  x.  ( M ^ n
) ) )
5756adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n ^
0 )  x.  ( M ^ n ) )  =  ( 1  x.  ( M ^ n
) ) )
58 nn0cn 10223 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
59 expcl 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M ^ n
)  e.  CC )
6058, 51, 59syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( M ^ n
)  e.  CC )
6160mulid2d 9098 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  x.  ( M ^ n ) )  =  ( M ^
n ) )
6257, 61eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n ^
0 )  x.  ( M ^ n ) )  =  ( M ^
n ) )
63 sq0 11465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
6463oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ 0 )
65 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
66 exp0 11378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
6864, 67eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  =  1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  =  1 )
7058addid1d 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  0 )  =  M )
7170oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ ( M  + 
0 ) )  =  ( M ^ M
) )
7269, 71oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( M ^ M ) ) )
73 expcl 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  CC )
7458, 73mpancom 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  CC )
7574mulid2d 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( M ^ M ) )  =  ( M ^ M
) )
7672, 75eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) )  =  ( M ^ M
) )
7776oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ (
0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  n )
) )
7877adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )  x.  ( ! `  n )
)  =  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  n ) ) )
7953, 62, 783brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n ^
0 )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  0 ) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )
8079ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ 0 )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) )
81 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
n ^ m )  =  ( n ^
0 ) )
8281oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( n ^ m
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( n ^ 0 )  x.  ( M ^ n
) ) )
83 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
m ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
8483oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  (
2 ^ ( m ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) ) )
85 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  ( M  +  m )  =  ( M  + 
0 ) )
8685oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( M ^ ( M  +  m ) )  =  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )
8784, 86oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
( 2 ^ (
m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  0 ) ) ) )
8887oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )  x.  ( ! `  n )
) )
8982, 88breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( (
n ^ 0 )  x.  ( M ^
n ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  0 ) ) )  x.  ( ! `  n )
) ) )
9089ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ 0 )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) )
9190imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ 0 )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( 0 ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  + 
0 ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) ) )
92 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  j  ->  (
n ^ m )  =  ( n ^
j ) )
9392oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  (
( n ^ m
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( n ^ j )  x.  ( M ^ n
) ) )
94 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  j  ->  (
m ^ 2 )  =  ( j ^
2 ) )
9594oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  (
2 ^ ( m ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( j ^ 2 ) ) )
96 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  j  ->  ( M  +  m )  =  ( M  +  j ) )
9796oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  j  ->  ( M ^ ( M  +  m ) )  =  ( M ^ ( M  +  j )
) )
9895, 97oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  j  ->  (
( 2 ^ (
m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) ) )
9998oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  j  ->  (
( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  n )
) )
10093, 99breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( m  =  j  ->  (
( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( (
n ^ j )  x.  ( M ^
n ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( j ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j )
) )  x.  ( ! `  n )
) ) )
101100ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( m  =  j  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ j )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) )
102101imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( m  =  j  ->  (
( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ j )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( j ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  j ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) ) )
103 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
n ^ m )  =  ( n ^
( j  +  1 ) ) )
104103oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
( n ^ m
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n
) ) )
105 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
m ^ 2 )  =  ( ( j  +  1 ) ^
2 ) )
106105oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
2 ^ ( m ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) ) )
107 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  ( M  +  m )  =  ( M  +  ( j  +  1 ) ) )
108107oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  ( M ^ ( M  +  m ) )  =  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )
109106, 108oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) ) )
110109oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n )
) )
111104, 110breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( (
n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^
n ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n )
) ) )
112111ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) )
113112imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( m  =  ( j  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ ( j  +  1 ) )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( ( j  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  ( j  +  1 ) ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) ) )
114 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  (
n ^ m )  =  ( n ^ K ) )
115114oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( n ^ m
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n
) ) )
116 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  K  ->  (
m ^ 2 )  =  ( K ^
2 ) )
117116oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  K  ->  (
2 ^ ( m ^ 2 ) )  =  ( 2 ^ ( K ^ 2 ) ) )
118 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  K  ->  ( M  +  m )  =  ( M  +  K ) )
119118oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  K  ->  ( M ^ ( M  +  m ) )  =  ( M ^ ( M  +  K )
) )
120117, 119oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  K  ->  (
( 2 ^ (
m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )
121120oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  m ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  n )
) )
122115, 121breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( m  =  K  ->  (
( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( (
n ^ K )  x.  ( M ^
n ) )  <_ 
( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  n )
) ) )
123122ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( m  =  K  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) )
124123imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( m  =  K  ->  (
( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^
m )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( m ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  m
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) ) )
12550, 80, 91, 102, 113, 124nn0indALT 10359 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  n ) ) ) )
126125imp 419 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )
127 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n ^ K )  =  ( N ^ K ) )
128 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( M ^ n )  =  ( M ^ N
) )
129127, 128oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( n ^ K
)  x.  ( M ^ n ) )  =  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) ) )
130 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  N ) )
131130oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  n ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )
132129, 131breq12d 4217 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( n ^ K )  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  n
) )  <->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
133132rspcva 3042 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A. n  e.  NN  (
( n ^ K
)  x.  ( M ^ n ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  n
) ) )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
134126, 133sylan2 461 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
1351343impb 1149 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ^cexp 11374   !cfa 11558
This theorem is referenced by:  faclbnd4  11580
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559
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