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Theorem faclbnd5 11311
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider  K and  M to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 
N-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 reexpcl 11120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
31, 2sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
43ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
5 nnre 9753 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
6 reexpcl 11120 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
8 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N ^ K
)  e.  RR  /\  ( M ^ N )  e.  RR )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR )
94, 7, 8syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
109anandirs 804 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
11 2nn 9877 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
12 2nn0 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
13 nn0expcl 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN0 )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
15 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN )
1611, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  NN )
17 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
18 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
1918ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
2017, 19sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  K
)  e.  NN0 )
21 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )
2322anabss7 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
24 nnmulcl 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2516, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2625anabss5 789 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN )
2726nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR )
28 faccl 11298 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2928nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
30 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
3127, 29, 30syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  RR )
32 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
33 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
3432, 31, 33sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
35 faclbnd4 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
3617, 35syl3an3 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
37363coml 1158 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
38373expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
39 1lt2 9886 . . . . . 6  |-  1  <  2
40 nnmulcl 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4126, 28, 40syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  NN )
4241nngt0d 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
43 ltmulgt12 9617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
1  <  2  <->  ( (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4432, 43mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  < 
( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
4531, 42, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4639, 45mpbii 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4710, 31, 34, 38, 46lelttrd 8974 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4826nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
4928nncnd 9762 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
50 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
51 mulass 8825 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5250, 51mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5348, 49, 52syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5447, 53breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
55543impa 1146 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
56553comr 1159 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   !cfa 11288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289
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