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Theorem faclbnd5 11327
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider  K and  M to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 
N-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 9990 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 reexpcl 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
31, 2sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
43ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N ^ K
)  e.  RR )
5 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
6 reexpcl 11136 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
8 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N ^ K
)  e.  RR  /\  ( M ^ N )  e.  RR )  -> 
( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N ) )  e.  RR )
94, 7, 8syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
109anandirs 804 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  e.  RR )
11 2nn 9893 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
12 2nn0 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
13 nn0expcl 11133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN0 )
1412, 13mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K ^ 2 )  e. 
NN0 )
15 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( K ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN )
1611, 14, 15sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  e.  NN )
17 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
18 nn0addcl 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
1918ancoms 439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
2017, 19sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M  +  K
)  e.  NN0 )
21 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( M  +  K
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )
2322anabss7 794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( M ^ ( M  +  K )
)  e.  NN )
24 nnmulcl 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  e.  NN  /\  ( M ^ ( M  +  K ) )  e.  NN )  ->  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2516, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN ) )  ->  ( (
2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  e.  NN )
2625anabss5 789 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN )
2726nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR )
28 faccl 11314 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2928nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
30 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
3127, 29, 30syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  RR )
32 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
33 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
3432, 31, 33sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  e.  RR )
35 faclbnd4 11326 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
3617, 35syl3an3 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
37363coml 1158 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <_  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
38373expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <_  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
39 1lt2 9902 . . . . . 6  |-  1  <  2
40 nnmulcl 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  ->  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4126, 28, 40syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  e.  NN )
4241nngt0d 9805 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
43 ltmulgt12 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
1  <  2  <->  ( (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4432, 43mp3an2 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  < 
( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) ) )
4531, 42, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  2  <->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) ) )
4639, 45mpbii 202 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4710, 31, 34, 38, 46lelttrd 8990 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
4826nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC )
4928nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
50 2cn 9832 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
51 mulass 8841 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5250, 51mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  e.  CC  /\  ( ! `  N )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) )  =  ( 2  x.  (
( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5348, 49, 52syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5447, 53breqtrrd 4065 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( N ^ K )  x.  ( M ^ N
) )  <  (
( 2  x.  (
( 2 ^ ( K ^ 2 ) )  x.  ( M ^
( M  +  K
) ) ) )  x.  ( ! `  N ) ) )
55543impa 1146 . 2  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
56553comr 1159 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  (
( N ^ K
)  x.  ( M ^ N ) )  <  ( ( 2  x.  ( ( 2 ^ ( K ^
2 ) )  x.  ( M ^ ( M  +  K )
) ) )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   !cfa 11304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305
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