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Theorem faclbnd6 11402
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables  m  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )
21oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) ) )
3 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  m )  =  ( N  + 
0 ) )
43fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  0 ) ) )
52, 4breq12d 4115 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ 0 ) )  <_  ( ! `  ( N  +  0 ) ) ) ) )
7 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )
87oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
9 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  k ) )
109fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  k )
) )
118, 10breq12d 4115 . . . 4  |-  ( m  =  k  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) )
1211imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  k  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) ) ) )
13 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^
( k  +  1 ) ) )
1413oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) ) )
15 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
1615fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1714, 16breq12d 4115 . . . 4  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1817imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  1 ) ^ m )  =  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )
2019oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ m ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) ) )
21 oveq2 5950 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  m )  =  ( N  +  M ) )
2221fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( ! `  ( N  +  m ) )  =  ( ! `  ( N  +  M )
) )
2320, 22breq12d 4115 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) )
2423imbi2d 307 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ m ) )  <_  ( ! `  ( N  +  m
) ) )  <->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ M
) )  <_  ( ! `  ( N  +  M ) ) ) ) )
25 faccl 11388 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2625nnred 9848 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
2726leidd 9426 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  <_ 
( ! `  N
) )
28 nn0cn 10064 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
29 peano2cn 9071 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3130exp0d 11329 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 ) ^ 0 )  =  1 )
3231oveq2d 5958 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  1 ) )
3325nncnd 9849 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  CC )
3433mulid1d 8939 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  1 )  =  ( ! `  N
) )
3532, 34eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3628addid1d 9099 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  0 )  =  N )
3736fveq2d 5609 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
0 ) )  =  ( ! `  N
) )
3827, 35, 373brtr4d 4132 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
0 ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  0 ) ) )
3926adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  RR )
40 peano2nn0 10093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4140nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42 reexpcl 11210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4341, 42sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  RR )
4439, 43remulcld 8950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR )
45 nnnn0 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
4645nn0ge0d 10110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ! `  N )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
4725, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  N
) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ! `  N ) )
4941adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  RR )
50 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  NN0 )
5140nn0ge0d 10110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_ 
( N  +  1 ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  +  1 ) )
5349, 50, 52expge0d 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )
5439, 43, 48, 53mulge0d 9436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) )
5544, 54jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) ) ) )
56 nn0addcl 10088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  NN0 )
57 faccl 11388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  +  k ) )  e.  NN )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  NN )
5958nnred 9848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  k )
)  e.  RR )
60 nn0re 10063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
61 peano2nn0 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6261nn0red 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
63 readdcl 8907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6460, 62, 63syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
6549, 52, 64jca31 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )
6655, 59, 65jca31 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
6766adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
68 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )
6936adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
70 nn0ge0 10080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
k )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
0  <_  k )
72 nn0re 10063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
7372adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
7460adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
75 0re 8925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
76 leadd2 9330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_ 
( N  +  k ) ) )
7775, 76mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7873, 74, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  k  <->  ( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) ) )
7971, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  0 )  <_  ( N  +  k ) )
8069, 79eqbrtrrd 4124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( N  +  k ) )
8156nn0red 10108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  k )  e.  RR )
82 1re 8924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
83 leadd1 9329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8482, 83mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  k
)  e.  RR )  ->  ( N  <_ 
( N  +  k )  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
8574, 81, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( N  +  k )  <->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
8680, 85mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  k )  +  1 ) )
87 nn0cn 10064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 8882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
89 addass 8911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9088, 89mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9128, 87, 90syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  +  k )  +  1 )  =  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9286, 91breqtrd 4126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9392adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )
9468, 93jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  /\  ( N  + 
1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
95 lemul12a 9701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^
k ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) ) )  /\  ( ! `  ( N  +  k ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( N  +  1 ) )  /\  ( N  +  ( k  +  1 ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  /\  ( N  +  1 )  <_  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
9667, 94, 95sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
97 expp1 11200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9830, 97sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
9998oveq2d 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10033adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  N
)  e.  CC )
101 expcl 11211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10230, 101sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 ) ^ k
)  e.  CC )
10330adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  CC )
104100, 102, 103mulassd 8945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( ( ( N  +  1 ) ^ k )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10599, 104eqtr4d 2393 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
106105adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
107 facp1 11383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  k )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) ) )
10856, 107syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( ( N  +  k )  +  1 ) ) )
10991fveq2d 5609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ! `
 ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11091oveq2d 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  ( N  +  k
) )  x.  (
( N  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
111108, 109, 1103eqtr3d 2398 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
112111adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  ( N  +  k ) )  x.  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
11396, 106, 1123brtr4d 4132 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) ) )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) )
114113ex 423 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ k
) )  <_  ( ! `  ( N  +  k ) )  ->  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 ) ^ (
k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
115114expcom 424 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) )  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
116115a2d 23 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 ) ^ k ) )  <_  ( ! `  ( N  +  k
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ! `  ( N  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 10197 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 ) ^ M ) )  <_ 
( ! `  ( N  +  M )
) ) )
118117impcom 419 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 ) ^ M ) )  <_  ( ! `  ( N  +  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   CCcc 8822   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    <_ cle 8955   NNcn 9833   NN0cn0 10054   ^cexp 11194   !cfa 11378
This theorem is referenced by:  eftlub  12480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379
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