MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facp1 Unicode version

Theorem facp1 11340
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
StepHypRef Expression
1 elnn0 10014 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 peano2nn 9803 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
3 facnn 11337 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
5 ovex 5925 . . . . . . 7  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
6 fvi 5617 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  _V  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
75, 6ax-mp 8 . . . . . 6  |-  (  _I 
`  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 )
87oveq2i 5911 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )
9 seqp1 11108 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
10 nnuz 10310 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10eleq2s 2408 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
12 facnn 11337 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq  1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1312oveq1d 5915 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
148, 11, 133eqtr4a 2374 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
154, 14eqtrd 2348 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
16 0p1e1 9884 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716fveq2i 5566 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
18 fac1 11339 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1917, 18eqtri 2336 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
20 oveq1 5907 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2120fveq2d 5567 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
22 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
2322, 20oveq12d 5918 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
24 fac0 11338 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2524, 16oveq12i 5912 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
26 1t1e1 9917 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
2725, 26eqtri 2336 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
2823, 27syl6eq 2364 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
2919, 21, 283eqtr4a 2374 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3015, 29jaoi 368 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
311, 30sylbi 187 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    _I cid 4341   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787   NNcn 9791   NN0cn0 10012   ZZ>=cuz 10277    seq cseq 11093   !cfa 11335
This theorem is referenced by:  fac2  11341  fac3  11342  fac4  11343  facnn2  11344  faccl  11345  facdiv  11347  facwordi  11349  faclbnd  11350  faclbnd6  11359  facubnd  11360  bcm1k  11374  bcp1n  11375  efcllem  12406  ef01bndlem  12511  eirrlem  12529  dvdsfac  12630  prmfac1  12844  pcfac  12994  2expltfac  13152  aaliou3lem2  19776  aaliou3lem8  19778  dvtaylp  19802  advlogexp  20055  bcmono  20569  subfacval2  24002  subfaclim  24003  4bc2eq6  24385  faclim  24484  faclim2  24486  wallispi2lem2  26969  stirlinglem4  26974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-seq 11094  df-fac 11336
  Copyright terms: Public domain W3C validator