MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Unicode version

Theorem facth1 19765
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial  F has a root at  A iff  G  =  x  -  A is a factor of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1rem.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1rem.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1rem.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1rem.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1rem.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1rem.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
ply1rem.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
ply1rem.1  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
ply1rem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
ply1rem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
ply1rem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
facth1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
facth1.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
Assertion
Ref Expression
facth1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
2 nzrrng 16223 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ply1rem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
5 ply1rem.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 ply1rem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 ply1rem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
8 ply1rem.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
9 ply1rem.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
10 ply1rem.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
11 ply1rem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
12 ply1rem.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
13 ply1rem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
14 ply1rem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
15 eqid 2366 . . . . . 6  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
16 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
17 facth1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 19763 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  (Monic1p `  R )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  G )  =  1  /\  ( `' ( O `  G )
" {  .0.  }
)  =  { N } ) )
1918simp1d 968 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Monic1p `  R
) )
20 eqid 2366 . . . . 5  |-  (Unic1p `  R
)  =  (Unic1p `  R
)
2120, 15mon1puc1p 19751 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  (Monic1p `  R ) )  ->  G  e.  (Unic1p `  R ) )
223, 19, 21syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Unic1p `  R
) )
23 facth1.d . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  P )
24 eqid 2366 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
25 eqid 2366 . . . 4  |-  (rem1p `  R
)  =  (rem1p `  R
)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 19762 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  (Unic1p `  R ) )  ->  ( G  .||  F 
<->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( 0g `  P
) ) )
273, 4, 22, 26syl3anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( F
(rem1p `
 R ) G )  =  ( 0g
`  P ) ) )
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 19764 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( A `  (
( O `  F
) `  N )
) )
295, 10, 17, 24ply1scl0 16575 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  ( 0g `  P
) )
303, 29syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  .0.  )  =  ( 0g `  P ) )
3130eqcomd 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( A `
 .0.  ) )
3228, 31eqeq12d 2380 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (rem1p `  R ) G )  =  ( 0g `  P )  <->  ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )
) )
335, 10, 7, 6ply1sclf1 16574 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> B )
343, 33syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A : K -1-1-> B
)
35 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( R  ^s  K )  =  ( R  ^s  K )
36 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  K ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  K ) )
37 fvex 5646 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
387, 37eqeltri 2436 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
3938a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
4012, 5, 35, 7evl1rhm 19627 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K
) ) )
4113, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  K ) ) )
426, 36rhmf 15714 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
44 ffvelrn 5770 . . . . . 6  |-  ( ( O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) )  /\  F  e.  B )  ->  ( O `  F )  e.  ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4543, 4, 44syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  F
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4635, 7, 36, 1, 39, 45pwselbas 13598 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  F
) : K --> K )
47 ffvelrn 5770 . . . 4  |-  ( ( ( O `  F
) : K --> K  /\  N  e.  K )  ->  ( ( O `  F ) `  N
)  e.  K )
4846, 14, 47syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  F ) `  N
)  e.  K )
497, 17rng0cl 15572 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
503, 49syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
51 f1fveq 5908 . . 3  |-  ( ( A : K -1-1-> B  /\  ( ( ( O `
 F ) `  N )  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N ) )  =  ( A `  .0.  ) 
<->  ( ( O `  F ) `  N
)  =  .0.  )
)
5234, 48, 50, 51syl12anc 1181 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )  <->  ( ( O `  F
) `  N )  =  .0.  ) )
5327, 32, 523bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873   {csn 3729   class class class wbr 4125   `'ccnv 4791   "cima 4795   -->wf 5354   -1-1->wf1 5355   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1c1 8885   Basecbs 13356    ^s cpws 13557   0gc0g 13610   -gcsg 14575   Ringcrg 15547   CRingccrg 15548   ||rcdsr 15630   RingHom crh 15704  NzRingcnzr 16219  algSccascl 16262  var1cv1 16461  Poly1cpl1 16462  eval1ce1 16464   deg1 cdg1 19655  Monic1pcmn1 19726  Unic1pcuc1p 19727  rem1pcr1p 19729
This theorem is referenced by:  fta1glem1  19766  fta1glem2  19767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-prds 13558  df-pws 13560  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-rnghom 15706  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-nzr 16220  df-rlreg 16234  df-assa 16263  df-asp 16264  df-ascl 16265  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-evls 16311  df-evl 16312  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-evl1 16471  df-coe1 16472  df-cnfld 16594  df-mdeg 19656  df-deg1 19657  df-mon1 19731  df-uc1p 19732  df-q1p 19733  df-r1p 19734
  Copyright terms: Public domain W3C validator