Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Unicode version

Theorem facth1 20092
 Description: The factor theorem and its converse. A polynomial has a root at iff is a factor of . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p Poly1
ply1rem.b
ply1rem.k
ply1rem.x var1
ply1rem.m
ply1rem.a algSc
ply1rem.g
ply1rem.o eval1
ply1rem.1 NzRing
ply1rem.2
ply1rem.3
ply1rem.4
facth1.z
facth1.d r
Assertion
Ref Expression
facth1

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4 NzRing
2 nzrrng 16337 . . . 4 NzRing
31, 2syl 16 . . 3
4 ply1rem.4 . . 3
5 ply1rem.p . . . . . 6 Poly1
6 ply1rem.b . . . . . 6
7 ply1rem.k . . . . . 6
8 ply1rem.x . . . . . 6 var1
9 ply1rem.m . . . . . 6
10 ply1rem.a . . . . . 6 algSc
11 ply1rem.g . . . . . 6
12 ply1rem.o . . . . . 6 eval1
13 ply1rem.2 . . . . . 6
14 ply1rem.3 . . . . . 6
15 eqid 2438 . . . . . 6 Monic1p Monic1p
16 eqid 2438 . . . . . 6 deg1 deg1
17 facth1.z . . . . . 6
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 20090 . . . . 5 Monic1p deg1
1918simp1d 970 . . . 4 Monic1p
20 eqid 2438 . . . . 5 Unic1p Unic1p
2120, 15mon1puc1p 20078 . . . 4 Monic1p Unic1p
223, 19, 21syl2anc 644 . . 3 Unic1p
23 facth1.d . . . 4 r
24 eqid 2438 . . . 4
25 eqid 2438 . . . 4 rem1p rem1p
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 20089 . . 3 Unic1p rem1p
273, 4, 22, 26syl3anc 1185 . 2 rem1p
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 20091 . . 3 rem1p
295, 10, 17, 24ply1scl0 16686 . . . . 5
303, 29syl 16 . . . 4
3130eqcomd 2443 . . 3
3228, 31eqeq12d 2452 . 2 rem1p
335, 10, 7, 6ply1sclf1 16685 . . . 4
343, 33syl 16 . . 3
35 eqid 2438 . . . . 5 s s
36 eqid 2438 . . . . 5 s s
37 fvex 5745 . . . . . . 7
387, 37eqeltri 2508 . . . . . 6
3938a1i 11 . . . . 5
4012, 5, 35, 7evl1rhm 19954 . . . . . . . 8 RingHom s
4113, 40syl 16 . . . . . . 7 RingHom s
426, 36rhmf 15832 . . . . . . 7 RingHom s s
4341, 42syl 16 . . . . . 6 s
4443, 4ffvelrnd 5874 . . . . 5 s
4535, 7, 36, 1, 39, 44pwselbas 13716 . . . 4
4645, 14ffvelrnd 5874 . . 3
477, 17rng0cl 15690 . . . 4
483, 47syl 16 . . 3
49 f1fveq 6011 . . 3
5034, 46, 48, 49syl12anc 1183 . 2
5127, 32, 503bitrd 272 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  csn 3816   class class class wbr 4215  ccnv 4880  cima 4884  wf 5453  wf1 5454  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1 8996  cbs 13474   s cpws 13675  c0g 13728  csg 14693  crg 15665  ccrg 15666  rcdsr 15748   RingHom crh 15822  NzRingcnzr 16333  algSccascl 16376  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  eval1ce1 16578   deg1 cdg1 19982  Monic1pcmn1 20053  Unic1pcuc1p 20054  rem1pcr1p 20056 This theorem is referenced by:  fta1glem1  20093  fta1glem2  20094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-nzr 16334  df-rlreg 16348  df-assa 16377  df-asp 16378  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-evls 16425  df-evl 16426  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-evl1 16585  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984  df-mon1 20058  df-uc1p 20059  df-q1p 20060  df-r1p 20061
 Copyright terms: Public domain W3C validator