MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Unicode version

Theorem facth1 20048
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial  F has a root at  A iff  G  =  x  -  A is a factor of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1rem.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1rem.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1rem.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1rem.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1rem.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1rem.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
ply1rem.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
ply1rem.1  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
ply1rem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
ply1rem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
ply1rem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
facth1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
facth1.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
Assertion
Ref Expression
facth1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
2 nzrrng 16295 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ply1rem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
5 ply1rem.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 ply1rem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 ply1rem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
8 ply1rem.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
9 ply1rem.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
10 ply1rem.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
11 ply1rem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
12 ply1rem.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
13 ply1rem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
14 ply1rem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
15 eqid 2412 . . . . . 6  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
16 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
17 facth1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 20046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  (Monic1p `  R )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  G )  =  1  /\  ( `' ( O `  G )
" {  .0.  }
)  =  { N } ) )
1918simp1d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Monic1p `  R
) )
20 eqid 2412 . . . . 5  |-  (Unic1p `  R
)  =  (Unic1p `  R
)
2120, 15mon1puc1p 20034 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  (Monic1p `  R ) )  ->  G  e.  (Unic1p `  R ) )
223, 19, 21syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Unic1p `  R
) )
23 facth1.d . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  P )
24 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
25 eqid 2412 . . . 4  |-  (rem1p `  R
)  =  (rem1p `  R
)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 20045 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  (Unic1p `  R ) )  ->  ( G  .||  F 
<->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( 0g `  P
) ) )
273, 4, 22, 26syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( F
(rem1p `
 R ) G )  =  ( 0g
`  P ) ) )
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 20047 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( A `  (
( O `  F
) `  N )
) )
295, 10, 17, 24ply1scl0 16644 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  ( 0g `  P
) )
303, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  .0.  )  =  ( 0g `  P ) )
3130eqcomd 2417 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( A `
 .0.  ) )
3228, 31eqeq12d 2426 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (rem1p `  R ) G )  =  ( 0g `  P )  <->  ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )
) )
335, 10, 7, 6ply1sclf1 16643 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> B )
343, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A : K -1-1-> B
)
35 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( R  ^s  K )  =  ( R  ^s  K )
36 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  K ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  K ) )
37 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
387, 37eqeltri 2482 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
4012, 5, 35, 7evl1rhm 19910 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K
) ) )
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  K ) ) )
426, 36rhmf 15790 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4443, 4ffvelrnd 5838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  F
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4535, 7, 36, 1, 39, 44pwselbas 13674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  F
) : K --> K )
4645, 14ffvelrnd 5838 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  F ) `  N
)  e.  K )
477, 17rng0cl 15648 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
483, 47syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
49 f1fveq 5975 . . 3  |-  ( ( A : K -1-1-> B  /\  ( ( ( O `
 F ) `  N )  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N ) )  =  ( A `  .0.  ) 
<->  ( ( O `  F ) `  N
)  =  .0.  )
)
5034, 46, 48, 49syl12anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )  <->  ( ( O `  F
) `  N )  =  .0.  ) )
5127, 32, 503bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   {csn 3782   class class class wbr 4180   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955   Basecbs 13432    ^s cpws 13633   0gc0g 13686   -gcsg 14651   Ringcrg 15623   CRingccrg 15624   ||rcdsr 15706   RingHom crh 15780  NzRingcnzr 16291  algSccascl 16334  var1cv1 16533  Poly1cpl1 16534  eval1ce1 16536   deg1 cdg1 19938  Monic1pcmn1 20009  Unic1pcuc1p 20010  rem1pcr1p 20012
This theorem is referenced by:  fta1glem1  20049  fta1glem2  20050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-prds 13634  df-pws 13636  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-rnghom 15782  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-nzr 16292  df-rlreg 16306  df-assa 16335  df-asp 16336  df-ascl 16337  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-evls 16383  df-evl 16384  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541  df-evl1 16543  df-coe1 16544  df-cnfld 16667  df-mdeg 19939  df-deg1 19940  df-mon1 20014  df-uc1p 20015  df-q1p 20016  df-r1p 20017
  Copyright terms: Public domain W3C validator