MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth1 Structured version   Unicode version

Theorem facth1 20092
Description: The factor theorem and its converse. A polynomial  F has a root at  A iff  G  =  x  -  A is a factor of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1rem.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1rem.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1rem.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1rem.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1rem.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1rem.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
ply1rem.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
ply1rem.1  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
ply1rem.2  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
ply1rem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
ply1rem.4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
facth1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
facth1.d  |-  .||  =  (
||r `  P )
Assertion
Ref Expression
facth1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )

Proof of Theorem facth1
StepHypRef Expression
1 ply1rem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. NzRing )
2 nzrrng 16337 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ply1rem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
5 ply1rem.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 ply1rem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 ply1rem.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  R
)
8 ply1rem.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
9 ply1rem.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  P )
10 ply1rem.a . . . . . 6  |-  A  =  (algSc `  P )
11 ply1rem.g . . . . . 6  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  N )
)
12 ply1rem.o . . . . . 6  |-  O  =  (eval1 `  R )
13 ply1rem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
14 ply1rem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  K )
15 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Monic1p `  R
)  =  (Monic1p `  R
)
16 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
17 facth1.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
185, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17ply1remlem 20090 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  (Monic1p `  R )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  G )  =  1  /\  ( `' ( O `  G )
" {  .0.  }
)  =  { N } ) )
1918simp1d 970 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Monic1p `  R
) )
20 eqid 2438 . . . . 5  |-  (Unic1p `  R
)  =  (Unic1p `  R
)
2120, 15mon1puc1p 20078 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  (Monic1p `  R ) )  ->  G  e.  (Unic1p `  R ) )
223, 19, 21syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  (Unic1p `  R
) )
23 facth1.d . . . 4  |-  .||  =  (
||r `  P )
24 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
25 eqid 2438 . . . 4  |-  (rem1p `  R
)  =  (rem1p `  R
)
265, 23, 6, 20, 24, 25dvdsr1p 20089 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  (Unic1p `  R ) )  ->  ( G  .||  F 
<->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( 0g `  P
) ) )
273, 4, 22, 26syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( F
(rem1p `
 R ) G )  =  ( 0g
`  P ) ) )
285, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25ply1rem 20091 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F (rem1p `  R
) G )  =  ( A `  (
( O `  F
) `  N )
) )
295, 10, 17, 24ply1scl0 16686 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  ( 0g `  P
) )
303, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A `  .0.  )  =  ( 0g `  P ) )
3130eqcomd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  =  ( A `
 .0.  ) )
3228, 31eqeq12d 2452 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F (rem1p `  R ) G )  =  ( 0g `  P )  <->  ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )
) )
335, 10, 7, 6ply1sclf1 16685 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> B )
343, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A : K -1-1-> B
)
35 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( R  ^s  K )  =  ( R  ^s  K )
36 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  ( R  ^s  K ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  K ) )
37 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
387, 37eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
3938a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
4012, 5, 35, 7evl1rhm 19954 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K
) ) )
4113, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  ( P RingHom 
( R  ^s  K ) ) )
426, 36rhmf 15832 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  K ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4443, 4ffvelrnd 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O `  F
)  e.  ( Base `  ( R  ^s  K ) ) )
4535, 7, 36, 1, 39, 44pwselbas 13716 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( O `  F
) : K --> K )
4645, 14ffvelrnd 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( O `  F ) `  N
)  e.  K )
477, 17rng0cl 15690 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
483, 47syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
49 f1fveq 6011 . . 3  |-  ( ( A : K -1-1-> B  /\  ( ( ( O `
 F ) `  N )  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N ) )  =  ( A `  .0.  ) 
<->  ( ( O `  F ) `  N
)  =  .0.  )
)
5034, 46, 48, 49syl12anc 1183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A `  ( ( O `  F ) `  N
) )  =  ( A `  .0.  )  <->  ( ( O `  F
) `  N )  =  .0.  ) )
5127, 32, 503bitrd 272 1  |-  ( ph  ->  ( G  .||  F  <->  ( ( O `  F ) `  N )  =  .0.  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   {csn 3816   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996   Basecbs 13474    ^s cpws 13675   0gc0g 13728   -gcsg 14693   Ringcrg 15665   CRingccrg 15666   ||rcdsr 15748   RingHom crh 15822  NzRingcnzr 16333  algSccascl 16376  var1cv1 16575  Poly1cpl1 16576  eval1ce1 16578   deg1 cdg1 19982  Monic1pcmn1 20053  Unic1pcuc1p 20054  rem1pcr1p 20056
This theorem is referenced by:  fta1glem1  20093  fta1glem2  20094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-prds 13676  df-pws 13678  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-nzr 16334  df-rlreg 16348  df-assa 16377  df-asp 16378  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-evls 16425  df-evl 16426  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-evl1 16585  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984  df-mon1 20058  df-uc1p 20059  df-q1p 20060  df-r1p 20061
  Copyright terms: Public domain W3C validator