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Theorem facwordi 11585
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  0 ) )
21anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 ) ) )
3 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
43breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0 )
) )
52, 4imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
0 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0
) ) ) )
6 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
76anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k ) ) )
8 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) )
107, 9imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
k )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) ) ) )
11 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
1211anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1413breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
1512, 14imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
1716anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
18 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
1918breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N )
) )
2017, 19imbi12d 313 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) ) ) )
21 nn0le0eq0 10255 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  0  <->  M  = 
0 ) )
2221biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  ->  M  =  0 )
2322fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  =  ( ! `
 0 ) )
24 fac0 11574 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
25 1re 9095 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2624, 25eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  e.  RR
2726leidi 9566 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  <_ 
( ! `  0
)
2823, 27syl6eqbr 4252 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  0 ) )
29 impexp 435 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) ) )
30 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
31 nn0re 10235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
32 peano2re 9244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
34 leloe 9166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3530, 33, 34syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( M  <  (
k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
36 nn0leltp1 10338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
37 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3837nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  RR )
3937nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e. 
NN0 )
4039nn0ge0d 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  k
) )
41 nn0p1nn 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4241nnge1d 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( k  +  1 ) )
4338, 33, 40, 42lemulge11d 9953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
44 facp1 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4543, 44breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
4645adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
47 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
4847nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
4948adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
5038adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
51 peano2nn0 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
52 faccl 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5453nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5554adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
56 letr 9172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  k )  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5749, 50, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5846, 57mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5958imim2d 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6059com23 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  ->  ( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6136, 60sylbird 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
62 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
6348leidd 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  M
) )
64 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  M )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6563, 64syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6662, 65syl5 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6867a1dd 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6961, 68jaod 371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7035, 69sylbid 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7170ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7271com13 77 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372com4l 81 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 25 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( M  e. 
NN0  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574imp4a 574 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7629, 75syl5bi 210 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
775, 10, 15, 20, 28, 76nn0ind 10371 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  N ) ) )
78773impib 1152 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
79783com12 1158 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126   NNcn 10005   NN0cn0 10226   !cfa 11571
This theorem is referenced by:  facavg  11597  aaliou3lem6  20270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
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