MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facwordi Unicode version

Theorem facwordi 11392
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  0 ) )
21anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 ) ) )
3 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
43breq2d 4114 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0 )
) )
52, 4imbi12d 311 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
0 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0
) ) ) )
6 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
76anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k ) ) )
8 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98breq2d 4114 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) )
107, 9imbi12d 311 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
k )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) ) ) )
11 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
1211anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1413breq2d 4114 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
1512, 14imbi12d 311 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
1716anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
18 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
1918breq2d 4114 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N )
) )
2017, 19imbi12d 311 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) ) ) )
21 nn0le0eq0 10083 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  0  <->  M  = 
0 ) )
2221biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  ->  M  =  0 )
2322fveq2d 5609 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  =  ( ! `
 0 ) )
24 fac0 11381 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
25 1re 8924 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2624, 25eqeltri 2428 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  e.  RR
2726leidi 9394 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  <_ 
( ! `  0
)
2823, 27syl6eqbr 4139 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  0 ) )
29 impexp 433 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) ) )
30 nn0re 10063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
31 nn0re 10063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
32 peano2re 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
34 leloe 8995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3530, 33, 34syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( M  <  (
k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
36 nn0leltp1 10164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
37 faccl 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3837nnred 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  RR )
3937nnnn0d 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e. 
NN0 )
4039nn0ge0d 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  k
) )
41 nn0p1nn 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4241nnge1d 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( k  +  1 ) )
4338, 33, 40, 42lemulge11d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
44 facp1 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4543, 44breqtrrd 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
47 faccl 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
4847nnred 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
5038adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
51 peano2nn0 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
52 faccl 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5453nnred 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
56 letr 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  k )  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5749, 50, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5846, 57mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5958imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6059com23 72 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  ->  ( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6136, 60sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
62 fveq2 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
6348leidd 9426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  M
) )
64 breq2 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  M )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6563, 64syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6662, 65syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6867a1dd 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
6961, 68jaod 369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7035, 69sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7170ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7271com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372com4l 78 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473a2d 23 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( M  e. 
NN0  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574imp4a 572 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7629, 75syl5bi 208 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
775, 10, 15, 20, 28, 76nn0ind 10197 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  N ) ) )
78773impib 1149 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
79783com12 1155 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955   NNcn 9833   NN0cn0 10054   !cfa 11378
This theorem is referenced by:  facavg  11404  aaliou3lem6  19826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-seq 11136  df-fac 11379
  Copyright terms: Public domain W3C validator