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Theorem fbasfip 17579
Description: A filter base has the finite intersection property. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbasfip  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )

Proof of Theorem fbasfip
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P F  /\  y  e.  Fin ) )
2 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P F  -> 
y  C_  F )
32anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P F  /\  y  e.  Fin )  ->  ( y  C_  F  /\  y  e.  Fin ) )
41, 3sylbi 187 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )  ->  (
y  C_  F  /\  y  e.  Fin )
)
5 fbssint 17549 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  C_  F  /\  y  e. 
Fin )  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
653expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
y  C_  F  /\  y  e.  Fin )
)  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
74, 6sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  |^| y )
8 0nelfb 17542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  F )
10 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1110biimpcd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  F  ->  (
z  =  (/)  ->  (/)  e.  F
) )
1211adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  (
z  =  (/)  ->  (/)  e.  F
) )
139, 12mtod 168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  z  =  (/) )
14 ss0 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
C_  (/)  ->  z  =  (/) )
1513, 14nsyl 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  z  e.  F )  ->  -.  z  C_  (/) )
1615adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  -.  z  C_  (/) )
17 sseq2 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  |^| y  ->  (
z  C_  (/)  <->  z  C_  |^| y ) )
1817biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( z 
C_  |^| y  ->  ( (/)  =  |^| y  -> 
z  C_  (/) ) )
1918ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  ( (/)  =  |^| y  ->  z  C_  (/) ) )
2016, 19mtod 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_ 
|^| y ) )  ->  -.  (/)  =  |^| y )
2120exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  C_  |^| y  ->  -.  (/)  =  |^| y
) ) )
2221rexlimdv 2679 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  |^| y  ->  -.  (/)  =  |^| y ) )
237, 22mpd 14 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) )  ->  -.  (/)  =  |^| y )
2423nrexdv 2659 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y )
25 0ex 4166 . . 3  |-  (/)  e.  _V
26 elfi 7183 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  F  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  <->  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y ) )
2725, 26mpan 651 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  <->  E. y  e.  ( ~P F  i^i  Fin ) (/)  =  |^| y ) )
2824, 27mtbird 292 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878   ` cfv 5271   Fincfn 6879   ficfi 7180   fBascfbas 17534
This theorem is referenced by:  fbunfip  17580  efilcp  25655
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-fbas 17536
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