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Theorem fbasrn 17595
Description: Given a filter on a domain, produce a filter on the range. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbasrn.c  |-  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
Assertion
Ref Expression
fbasrn  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  e.  ( fBas `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fbasrn
Dummy variables  s 
r  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbasrn.c . . 3  |-  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
2 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  F : X
--> Y )
3 imassrn 5041 . . . . . . . 8  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
4 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
53, 4syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( F " x
)  C_  Y )
62, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( F " x )  C_  Y
)
7 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  Y  e.  V )
8 elpw2g 4190 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  V  ->  (
( F " x
)  e.  ~P Y  <->  ( F " x ) 
C_  Y ) )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( F " x )  e. 
~P Y  <->  ( F " x )  C_  Y
) )
106, 9mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( F " x )  e.  ~P Y )
11 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
1210, 11fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) ) : B --> ~P Y
)
13 frn 5411 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( F " x ) ) : B --> ~P Y  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )  C_  ~P Y )
1412, 13syl 15 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  C_  ~P Y )
151, 14syl5eqss 3235 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  C_ 
~P Y )
161a1i 10 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) ) )
17 ffun 5407 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
18173ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  Fun  F )
19 funimaexg 5345 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  B )  ->  ( F " x )  e. 
_V )
2019ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  B  ( F " x )  e.  _V )
21 dmmptg 5186 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( F " x )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  B )
2218, 20, 213syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  B )
23 fbasne0 17541 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  =/=  (/) )
24233ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  B  =/=  (/) )
2522, 24eqnetrd 2477 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/) )
26 dm0rn0 4911 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  (/)  <->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  (/) )
2726necon3bii 2491 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =/=  (/) )
2825, 27sylib 188 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/) )
2916, 28eqnetrd 2477 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  =/=  (/) )
30 fbelss 17544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  X )
3130ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  C_  X ) )
32313ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  X ) )
33 0nelfb 17542 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  B
)
34 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  B  <->  (/)  e.  B
) )
3534notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  (/)  e.  B
) )
3633, 35syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  =  (/)  ->  -.  x  e.  B ) )
3736con2d 107 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  B  ->  -.  x  =  (/) ) )
38373ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  -.  x  =  (/) ) )
3932, 38jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) ) ) )
40 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  F  =  X )
4241sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  C_  dom  F  <->  x  C_  X
) )
4342biimpar 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_  dom  F )
44 sseqin2 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  dom  F  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  x )
4543, 44sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( dom  F  i^i  x )  =  x )
4645eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( ( dom 
F  i^i  x )  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
4746biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( ( dom 
F  i^i  x )  =  (/)  ->  x  =  (/) ) )
4847con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) ) )
4948expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) )  ->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) ) )
50 eqcom 2298 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  ( F "
x )  <->  ( F " x )  =  (/) )
51 imadisj 5048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " x )  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5250, 51bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( F "
x )  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5352notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  =  ( F "
x )  <->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5449, 53syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) )  ->  -.  (/)  =  ( F " x ) ) )
5539, 54syld 40 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  -.  (/)  =  ( F
" x ) ) )
5655ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F " x ) )
571eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  C  <->  (/)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) ) )
58 0ex 4166 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
5911elrnmpt 4942 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
6157, 60bitri 240 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  C  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F "
x ) )
6261notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  C  <->  -.  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
63 df-nel 2462 . . . . 5  |-  ( (/)  e/  C  <->  -.  (/)  e.  C
)
64 ralnex 2566 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F "
x )  <->  -.  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
6562, 63, 643bitr4i 268 . . . 4  |-  ( (/)  e/  C  <->  A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F
" x ) )
6656, 65sylibr 203 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (/)  e/  C
)
671eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  C  <->  r  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
68 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  r  e. 
_V
69 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F " x )  =  ( F " u
) )
7069cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( u  e.  B  |->  ( F "
u ) )
7170elrnmpt 4942 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) ) )
7268, 71ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) )
7367, 72bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  C  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) )
741eleq2i 2360 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  C  <->  s  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
75 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
76 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( F " x )  =  ( F " v
) )
7776cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( v  e.  B  |->  ( F "
v ) )
7877elrnmpt 4942 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) ) )
7975, 78ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) )
8074, 79bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  C  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) )
8173, 80anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  C  /\  s  e.  C )  <->  ( E. u  e.  B  r  =  ( F " u )  /\  E. v  e.  B  s  =  ( F "
v ) ) )
82 reeanv 2720 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  <->  ( E. u  e.  B  r  =  ( F "
u )  /\  E. v  e.  B  s  =  ( F "
v ) ) )
8381, 82bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  C  /\  s  e.  C )  <->  E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )
84 fbasssin 17547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
85843expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
86853ad2antl1 1117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
8786adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
88 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F
" w )  =  ( F " w
)
89 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  ( F " x )  =  ( F " w
) )
9089eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( F " w
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " w )  =  ( F " w ) ) )
9190rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( F " w )  =  ( F "
w ) )  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) )
9288, 91mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F " x ) )
9392ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) )
941eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " w )  e.  C  <->  ( F " w )  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
95 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
9695funimaex 5346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " w )  e.  _V )
9711elrnmpt 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F " w )  e.  _V  ->  (
( F " w
)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
9818, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F " w
)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
9994, 98syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F " w
)  e.  C  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F " x ) ) )
10099ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( ( F "
w )  e.  C  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
10193, 100mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  e.  C )
102 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( u  i^i  v ) ) )
103102ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  C_  ( F " ( u  i^i  v
) ) )
104 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
105 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  u  ->  ( F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " u ) )
106104, 105ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " u )
107 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  i^i  v )  C_  v
108 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  v  ->  ( F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " v ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " v )
110106, 109ssini 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( ( F "
u )  i^i  ( F " v ) )
111 ineq12 3378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( F " u )  i^i  ( F "
v ) ) )
112111ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( F " u )  i^i  ( F "
v ) ) )
113110, 112syl5sseqr 3240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " (
u  i^i  v )
)  C_  ( r  i^i  s ) )
114103, 113sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  C_  ( r  i^i  s ) )
115 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
z  C_  ( r  i^i  s )  <->  ( F " w )  C_  (
r  i^i  s )
) )
116115rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F " w
)  e.  C  /\  ( F " w ) 
C_  ( r  i^i  s ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
117101, 114, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
118117adantlrl 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  ( r  =  ( F "
u )  /\  s  =  ( F "
v ) ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
119118exp32 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  ( w  e.  B  ->  ( w 
C_  ( u  i^i  v )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) ) )
120119rexlimdv 2679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  ( E. w  e.  B  w  C_  ( u  i^i  v
)  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) )
12187, 120mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) )
122121exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) )
123122rexlimdvv 2686 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( r  =  ( F " u )  /\  s  =  ( F " v ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) )
12483, 123syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( r  e.  C  /\  s  e.  C
)  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) )
125124ralrimivv 2647 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) )
12629, 66, 1253jca 1132 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) )
127 isfbas2 17546 . . 3  |-  ( Y  e.  V  ->  ( C  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( C  C_ 
~P Y  /\  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) ) )
1281273ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( C  C_ 
~P Y  /\  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) ) )
12915, 126, 128mpbir2and 888 1  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  e.  ( fBas `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271   fBascfbas 17534
This theorem is referenced by:  fmfil  17655  fmss  17657  elfm  17658  fmcfil  18714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-fbas 17536
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