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Theorem fbasrn 17916
Description: Given a filter on a domain, produce a filter on the range. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbasrn.c  |-  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
Assertion
Ref Expression
fbasrn  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  e.  ( fBas `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, V    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fbasrn
Dummy variables  s 
r  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbasrn.c . . 3  |-  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
2 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  F : X
--> Y )
3 imassrn 5216 . . . . . . . 8  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
4 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  ran  F  C_  Y )
53, 4syl5ss 3359 . . . . . . 7  |-  ( F : X --> Y  -> 
( F " x
)  C_  Y )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( F " x )  C_  Y
)
7 simpl3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  Y  e.  V )
8 elpw2g 4363 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  V  ->  (
( F " x
)  e.  ~P Y  <->  ( F " x ) 
C_  Y ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( F " x )  e. 
~P Y  <->  ( F " x )  C_  Y
) )
106, 9mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  B
)  ->  ( F " x )  e.  ~P Y )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )
1210, 11fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) ) : B --> ~P Y
)
13 frn 5597 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( F " x ) ) : B --> ~P Y  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )  C_  ~P Y )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  C_  ~P Y )
151, 14syl5eqss 3392 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  C_ 
~P Y )
161a1i 11 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  =  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) ) )
17 ffun 5593 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> Y  ->  Fun  F )
18173ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  Fun  F )
19 funimaexg 5530 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  B )  ->  ( F " x )  e. 
_V )
2019ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  B  ( F " x )  e.  _V )
21 dmmptg 5367 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  B  ( F " x )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  B )
2218, 20, 213syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  B )
23 fbasne0 17862 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  =/=  (/) )
24233ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  B  =/=  (/) )
2522, 24eqnetrd 2619 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/) )
26 dm0rn0 5086 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  (/)  <->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =  (/) )
2726necon3bii 2633 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =/=  (/) )
2825, 27sylib 189 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  =/=  (/) )
2916, 28eqnetrd 2619 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  =/=  (/) )
30 fbelss 17865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  X )
3130ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  C_  X ) )
32313ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  X ) )
33 0nelfb 17863 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  B
)
34 eleq1 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  B  <->  (/)  e.  B
) )
3534notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  B  <->  -.  (/)  e.  B
) )
3633, 35syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  =  (/)  ->  -.  x  e.  B ) )
3736con2d 109 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  B  ->  -.  x  =  (/) ) )
38373ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  -.  x  =  (/) ) )
3932, 38jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  -> 
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) ) ) )
40 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
41403ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  dom  F  =  X )
4241sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  C_  dom  F  <->  x  C_  X
) )
4342biimpar 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_  dom  F )
44 sseqin2 3560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  dom  F  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  x )
4543, 44sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( dom  F  i^i  x )  =  x )
4645eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( ( dom 
F  i^i  x )  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
4746biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( ( dom 
F  i^i  x )  =  (/)  ->  x  =  (/) ) )
4847con3d 127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) ) )
4948expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) )  ->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) ) )
50 eqcom 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =  ( F "
x )  <->  ( F " x )  =  (/) )
51 imadisj 5223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " x )  =  (/)  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5250, 51bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =  ( F "
x )  <->  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5352notbii 288 . . . . . . 7  |-  ( -.  (/)  =  ( F "
x )  <->  -.  ( dom  F  i^i  x )  =  (/) )
5449, 53syl6ibr 219 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( x  C_  X  /\  -.  x  =  (/) )  ->  -.  (/)  =  ( F " x ) ) )
5539, 54syld 42 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
x  e.  B  ->  -.  (/)  =  ( F
" x ) ) )
5655ralrimiv 2788 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F " x ) )
571eleq2i 2500 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  C  <->  (/)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) ) )
58 0ex 4339 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
5911elrnmpt 5117 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F "
x ) )  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
6157, 60bitri 241 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  C  <->  E. x  e.  B  (/)  =  ( F "
x ) )
6261notbii 288 . . . . 5  |-  ( -.  (/)  e.  C  <->  -.  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
63 df-nel 2602 . . . . 5  |-  ( (/)  e/  C  <->  -.  (/)  e.  C
)
64 ralnex 2715 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F "
x )  <->  -.  E. x  e.  B  (/)  =  ( F " x ) )
6562, 63, 643bitr4i 269 . . . 4  |-  ( (/)  e/  C  <->  A. x  e.  B  -.  (/)  =  ( F
" x ) )
6656, 65sylibr 204 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (/)  e/  C
)
671eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  C  <->  r  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
68 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  r  e. 
_V
69 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F " x )  =  ( F " u
) )
7069cbvmptv 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( u  e.  B  |->  ( F "
u ) )
7170elrnmpt 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  _V  ->  (
r  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) ) )
7268, 71ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) )
7367, 72bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( r  e.  C  <->  E. u  e.  B  r  =  ( F " u ) )
741eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  C  <->  s  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
75 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  s  e. 
_V
76 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  v  ->  ( F " x )  =  ( F " v
) )
7776cbvmptv 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  =  ( v  e.  B  |->  ( F "
v ) )
7877elrnmpt 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) ) )
7975, 78ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F
" x ) )  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) )
8074, 79bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  C  <->  E. v  e.  B  s  =  ( F " v ) )
8173, 80anbi12i 679 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  C  /\  s  e.  C )  <->  ( E. u  e.  B  r  =  ( F " u )  /\  E. v  e.  B  s  =  ( F "
v ) ) )
82 reeanv 2875 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  <->  ( E. u  e.  B  r  =  ( F "
u )  /\  E. v  e.  B  s  =  ( F "
v ) ) )
8381, 82bitr4i 244 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  C  /\  s  e.  C )  <->  E. u  e.  B  E. v  e.  B  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )
84 fbasssin 17868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
85843expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  (
u  e.  B  /\  v  e.  B )
)  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
86853ad2antl1 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B
) )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
8786adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  E. w  e.  B  w  C_  (
u  i^i  v )
)
88 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" w )  =  ( F " w
)
89 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F " x )  =  ( F " w
) )
9089eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F " w
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " w )  =  ( F " w ) ) )
9190rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( F " w )  =  ( F "
w ) )  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) )
9288, 91mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F " x ) )
9392ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) )
941eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " w )  e.  C  <->  ( F " w )  e.  ran  ( x  e.  B  |->  ( F " x
) ) )
95 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  w  e. 
_V
9695funimaex 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " w )  e.  _V )
9711elrnmpt 5117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " w )  e.  _V  ->  (
( F " w
)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
9818, 96, 973syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F " w
)  e.  ran  (
x  e.  B  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
9994, 98syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F " w
)  e.  C  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F " x ) ) )
10099ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( ( F "
w )  e.  C  <->  E. x  e.  B  ( F " w )  =  ( F "
x ) ) )
10193, 100mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  e.  C )
102 imass2 5240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( F " w )  C_  ( F " ( u  i^i  v ) ) )
103102ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  C_  ( F " ( u  i^i  v
) ) )
104 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
105 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  u  ->  ( F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " u ) )
106104, 105ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " u )
107 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  v )  C_  v
108 imass2 5240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  v  ->  ( F " ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " v ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( F " v )
110106, 109ssini 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( u  i^i  v ) )  C_  ( ( F "
u )  i^i  ( F " v ) )
111 ineq12 3537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( F " u )  i^i  ( F "
v ) ) )
112111ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( r  i^i  s
)  =  ( ( F " u )  i^i  ( F "
v ) ) )
113110, 112syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " (
u  i^i  v )
)  C_  ( r  i^i  s ) )
114103, 113sstrd 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  -> 
( F " w
)  C_  ( r  i^i  s ) )
115 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
z  C_  ( r  i^i  s )  <->  ( F " w )  C_  (
r  i^i  s )
) )
116115rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F " w
)  e.  C  /\  ( F " w ) 
C_  ( r  i^i  s ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
117101, 114, 116syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
118117adantlrl 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  e.  ( fBas `  X
)  /\  F : X
--> Y  /\  Y  e.  V )  /\  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  /\  ( r  =  ( F "
u )  /\  s  =  ( F "
v ) ) ) )  /\  ( w  e.  B  /\  w  C_  ( u  i^i  v
) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) )
11987, 118rexlimddv 2834 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  /\  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  /\  (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) ) ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) )
120119exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( (
r  =  ( F
" u )  /\  s  =  ( F " v ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) )
121120rexlimdvv 2836 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( E. u  e.  B  E. v  e.  B  ( r  =  ( F " u )  /\  s  =  ( F " v ) )  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) )
12283, 121syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  (
( r  e.  C  /\  s  e.  C
)  ->  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) ) )
123122ralrimivv 2797 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s
) )
12429, 66, 1233jca 1134 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) )
125 isfbas2 17867 . . 3  |-  ( Y  e.  V  ->  ( C  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( C  C_ 
~P Y  /\  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) ) )
1261253ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  ( C  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( C  C_ 
~P Y  /\  ( C  =/=  (/)  /\  (/)  e/  C  /\  A. r  e.  C  A. s  e.  C  E. z  e.  C  z  C_  ( r  i^i  s ) ) ) ) )
12715, 124, 126mpbir2and 889 1  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  X )  /\  F : X --> Y  /\  Y  e.  V )  ->  C  e.  ( fBas `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    e/ wnel 2600   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881   Fun wfun 5448   -->wf 5450   ` cfv 5454   fBascfbas 16689
This theorem is referenced by:  fmfil  17976  fmss  17978  elfm  17979  fmucnd  18322  fmcfil  19225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-fbas 16699
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