MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbelss Unicode version

Theorem fbelss 17528
Description: An element of the filter base is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbelss  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  C_  B )

Proof of Theorem fbelss
StepHypRef Expression
1 fbsspw 17527 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  F  C_  ~P B )
21sselda 3180 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  e.  ~P B )
3 elpwi 3633 . 2  |-  ( X  e.  ~P B  ->  X  C_  B )
42, 3syl 15 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  X  e.  F )  ->  X  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   fBascfbas 17518
This theorem is referenced by:  fbdmn0  17529  filelss  17547  ssfg  17567  fgcl  17573  fbasrn  17579  fmfnfmlem4  17652  fmfnfm  17653  fmcfil  18698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fbas 17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator