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Theorem fbfinnfr 17873
Description: No filter base containing a finite element is free. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbfinnfr  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )

Proof of Theorem fbfinnfr
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  F  <->  y  e.  F ) )
21anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F ) ) )
32imbi1d 309 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  S  ->  (
x  e.  F  <->  S  e.  F ) )
54anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  S  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  x  e.  F
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  S  e.  F ) ) )
65imbi1d 309 . . . 4  |-  ( x  =  S  ->  (
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
7 ibar 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
87adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  e.  F  <->  ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F ) ) )
98imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
10 bi2.04 351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C.  y  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
119, 10syl6rbbr 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  F  ->  ( x 
C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
1211albidv 1635 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) ) )
13 df-ral 2710 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  F  (
x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  <->  A. x
( x  e.  F  ->  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
1412, 13syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  <->  A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
15 0nelfb 17863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
16 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F
) )
1716notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  F  <->  -.  (/)  e.  F
) )
1815, 17syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  =  (/)  ->  -.  y  e.  F ) )
1918necon2ad 2652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  B
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  =/=  (/) ) )
2019imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  =/=  (/) )
21 ssn0 3660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  |^| F  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) )
2221ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  |^| F  ->  (
y  =/=  (/)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2320, 22syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
2423a1dd 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  |^| F  -> 
( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
25 ssint 4066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  |^| F  <->  A. z  e.  F  y  C_  z )
2625notbii 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
27 rexnal 2716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  <->  -.  A. z  e.  F  y  C_  z )
2826, 27bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  C_  |^| F  <->  E. z  e.  F  -.  y  C_  z )
29 fbasssin 17868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
30 nssinpss 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  C_  z  <->  ( y  i^i  z )  C.  y
)
31 sspsstr 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C.  y )  ->  x  C.  y )
3230, 31sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  -.  y  C_  z )  ->  x  C.  y )
3332expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C.  y ) )
3433reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  C_  z  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z )  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3529, 34syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
36353expia 1155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) ) )
3736rexlimdv 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( E. z  e.  F  -.  y  C_  z  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
3828, 37syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  E. x  e.  F  x  C.  y ) )
39 r19.29 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y ) )
40 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  -> 
( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4140imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4241rexlimivw 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  ( ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  x  C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4339, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  F  x 
C.  y )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4443expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  F  x 
C.  y  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4538, 44syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( -.  y  C_  |^| F  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
4624, 45pm2.61d 152 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x  e.  F  ( x  C.  y  ->  |^| F  =/=  (/) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4714, 46sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  y  e.  F )  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4847com12 29 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
4948a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( A. x ( x  C.  y  ->  ( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  x  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) )  -> 
( ( F  e.  ( fBas `  B
)  /\  y  e.  F )  ->  |^| F  =/=  (/) ) ) )
503, 6, 49findcard3 7350 . . 3  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( F  e.  (
fBas `  B )  /\  S  e.  F
)  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
5150com12 29 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F )  ->  ( S  e.  Fin  ->  |^| F  =/=  (/) ) )
52513impia 1150 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  B )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320    C. wpss 3321   (/)c0 3628   |^|cint 4050   ` cfv 5454   Fincfn 7109   fBascfbas 16689
This theorem is referenced by:  filfinnfr  17909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fbas 16699
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