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Theorem fbflim2 18011
Description: A condition for a filter base  B to converge to a point  A. Use neighborhoods instead of open neighborhoods. Compare fbflim 18010. (Contributed by FL, 4-Jul-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbflim.3  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fbflim2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n, x    n, J, x    n, X, x   
x, F
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem fbflim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbflim.3 . . 3  |-  F  =  ( X filGen B )
21fbflim 18010 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
) ) ) )
3 topontop 16993 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
6 toponuni 16994 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7eleqtrd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. J )
9 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
109isneip 17171 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( n  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
114, 8, 10syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  <->  ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
12 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )
1311, 12syl6bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
14 r19.29 2848 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
)  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
15 pm3.45 809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) ) )
1615imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) )
17 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  y  ->  (
y  C_  n  ->  x 
C_  n ) )
1817com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  n  ->  (
x  C_  y  ->  x 
C_  n ) )
1918reximdv 2819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  n  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2019impcom 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2116, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2221rexlimivw 2828 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2314, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n )
2423ex 425 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x 
C_  y )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2513, 24syl9 69 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
2625ralrimdv 2797 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
274adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  J  e.  Top )
28 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
29 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  A  e.  y )
30 opnneip 17185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
32 sseq2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
x  C_  n  <->  x  C_  y
) )
3332rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  n  <->  E. x  e.  B  x  C_  y
) )
3433rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3531, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3635expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3736com23 75 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3837ralrimdva 2798 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3926, 38impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
4039pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
412, 40bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   {csn 3816   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   fBascfbas 16691   filGencfg 16692   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   neicnei 17163    fLim cflim 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-fil 17880  df-flim 17973
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