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Theorem fbflim2 17672
Description: A condition for a filter base  B to converge to a point  A. Use neighborhoods instead of open neighborhoods. Compare fbflim 17671. (Contributed by FL, 4-Jul-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fbflim.3  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fbflim2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n, x    n, J, x    n, X, x   
x, F
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem fbflim2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbflim.3 . . 3  |-  F  =  ( X filGen B )
21fbflim 17671 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
) ) ) )
3 topontop 16664 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
6 toponuni 16665 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
85, 7eleqtrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  U. J )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
109isneip 16842 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  U. J )  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  ( n  C_ 
U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
114, 8, 10syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  <->  ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) ) )
12 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( n  C_  U. J  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )
1311, 12syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  ->  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
14 r19.29 2683 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y
)  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) ) )
15 pm3.45 807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) ) )
1615imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n ) )
17 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  y  ->  (
y  C_  n  ->  x 
C_  n ) )
1817com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  n  ->  (
x  C_  y  ->  x 
C_  n ) )
1918reximdv 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  n  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2019impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x  e.  B  x  C_  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2116, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2221rexlimivw 2663 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  J  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
)
2314, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  /\  E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n ) )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n )
2423ex 423 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x 
C_  y )  -> 
( E. y  e.  J  ( A  e.  y  /\  y  C_  n )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) )
2513, 24syl9 66 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  ->  E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
2625ralrimdv 2632 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  ->  A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
274adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  J  e.  Top )
28 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  J )
29 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  ->  A  e.  y )
30 opnneip 16856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J  /\  A  e.  y )  ->  y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
32 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
x  C_  n  <->  x  C_  y
) )
3332rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  ( E. x  e.  B  x  C_  n  <->  E. x  e.  B  x  C_  y
) )
3433rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3531, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( y  e.  J  /\  A  e.  y ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )
3635expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3736com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3837ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) ) )
3926, 38impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) )
4039pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  B  x  C_  y ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
412, 40bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) E. x  e.  B  x  C_  n
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834   fBascfbas 17518   filGencfg 17519    fLim cflim 17629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634
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