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Theorem fbssfi 17869
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssfi  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, X

Proof of Theorem fbssfi
Dummy variables  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 7428 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  |^| { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
2 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
3 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  e.  ~P U. F )
43elpwid 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  C_  U. F
)
52, 4syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. F
)
6 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
76inex1 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
87elpw 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F  <->  ( u  i^i  v ) 
C_  U. F )
95, 8sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F )
10 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
11 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  -> 
y  e.  F )
12 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  v )  -> 
z  e.  F )
13 fbasssin 17868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
1410, 11, 12, 13syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
15 ss2in 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  u  /\  z  C_  v )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
1615ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
17163adant1 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (
u  i^i  v )
)
18 sstr 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C_  ( u  i^i  v
) )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) )
1918expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) ) )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2120reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
)
23 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2423rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2524elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( (
u  i^i  v )  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  ( u  i^i  v ) ) )
269, 22, 25sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
27263expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( u  i^i  v
)  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
2827rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
2928ralrimivw 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
30 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  v  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  v
) )
3130rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  v
) )
32 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  v  <->  z  C_  v ) )
3332cbvrexv 2933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  v  <->  E. z  e.  F  z  C_  v )
3431, 33syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. z  e.  F  z  C_  v ) )
3534ralrab 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3629, 35sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
3736rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3837ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
39 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  u  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  u
) )
4039rexbidv 2726 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  u
) )
41 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  u  <->  y  C_  u ) )
4241cbvrexv 2933 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  u  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4340, 42syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4443ralrab 3096 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
4538, 44sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
46 pwuni 4395 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ~P U. F
47 ssid 3367 . . . . . . . . . 10  |-  t  C_  t
48 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
4948rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
5047, 49mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
5150rgen 2771 . . . . . . . 8  |-  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t
52 ssrab 3421 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( F  C_ 
~P U. F  /\  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t ) )
5346, 51, 52mpbir2an 887 . . . . . . 7  |-  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }
5445, 53jctil 524 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
55 uniexg 4706 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  U. F  e. 
_V )
56 pwexg 4383 . . . . . . . 8  |-  ( U. F  e.  _V  ->  ~P
U. F  e.  _V )
5755, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ~P U. F  e.  _V )
58 rabexg 4353 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. F  e.  _V  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V )
59 sseq2 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( F  C_  z  <->  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
60 eleq2 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6160raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6261raleqbi1dv 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. u  e.  z  A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6359, 62anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( F  C_  z  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  z  ( u  i^i  v
)  e.  z )  <-> 
( F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6463elabg 3083 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V  ->  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6557, 58, 643syl 19 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6654, 65mpbird 224 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
67 intss1 4065 . . . . 5  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
6866, 67syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
691, 68eqsstrd 3382 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
7069sselda 3348 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  A  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
71 sseq2 3370 . . . . 5  |-  ( t  =  A  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  A
) )
7271rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( t  =  A  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  A
) )
7372elrab 3092 . . 3  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( A  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  A ) )
7473simprbi 451 . 2  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
7570, 74syl 16 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   |^|cint 4050   ` cfv 5454   ficfi 7415   fBascfbas 16689
This theorem is referenced by:  fbssint  17870  fbunfip  17901  fmfnfmlem1  17986  fmfnfmlem4  17989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-fbas 16699
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