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Theorem fbssfi 17532
Description: A filter base contains subsets of its finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbssfi  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, X

Proof of Theorem fbssfi
Dummy variables  t  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffi2 7176 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  =  |^| { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
2 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
3 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  e.  ~P U. F )
4 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ~P U. F  ->  u  C_  U. F )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  u  C_  U. F
)
62, 5syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  C_  U. F
)
7 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  u  e. 
_V
87inex1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
98elpw 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F  <->  ( u  i^i  v ) 
C_  U. F )
106, 9sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  ~P U. F )
11 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  F  e.  (
fBas `  X )
)
12 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  -> 
y  e.  F )
13 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  F  /\  z  C_  v )  -> 
z  e.  F )
14 fbasssin 17531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
1511, 12, 13, 14syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
y  i^i  z )
)
16 ss2in 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  C_  u  /\  z  C_  v )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
1716ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( y  i^i  z
)  C_  ( u  i^i  v ) )
18173adant1 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (
u  i^i  v )
)
19 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  C_  ( y  i^i  z )  /\  (
y  i^i  z )  C_  ( u  i^i  v
) )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) )
2019expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  ->  x  C_  ( u  i^i  v
) ) )
2118, 20syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2221reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  ( y  i^i  z
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2315, 22mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
)
24 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2524rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  (
u  i^i  v )
) )
2625elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  i^i  v )  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( (
u  i^i  v )  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  ( u  i^i  v ) ) )
2710, 23, 26sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
28273expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  /\  ( z  e.  F  /\  z  C_  v ) )  -> 
( u  i^i  v
)  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
2928expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  /\  z  e.  F )  ->  (
z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3029rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3130ralrimivw 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
32 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  v  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  v
) )
3332rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  v
) )
34 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  v  <->  z  C_  v ) )
3534cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  v  <->  E. z  e.  F  z  C_  v )
3633, 35syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  v  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. z  e.  F  z  C_  v ) )
3736ralrab 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. v  e.  ~P  U. F ( E. z  e.  F  z  C_  v  ->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
3831, 37sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  (
y  e.  F  /\  y  C_  u ) )  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
3938expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  /\  y  e.  F )  ->  (
y  C_  u  ->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
4039rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  e.  ~P U. F )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
4140ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
42 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  u  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  u
) )
4342rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  u
) )
44 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  u  <->  y  C_  u ) )
4544cbvrexv 2765 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  F  x 
C_  u  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4643, 45syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  u  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4746ralrab 2927 . . . . . . . 8  |-  ( A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } 
<-> 
A. u  e.  ~P  U. F ( E. y  e.  F  y  C_  u  ->  A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
4841, 47sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
49 pwuni 4206 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ~P U. F
50 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  t  C_  t
51 sseq1 3199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
5251rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
5350, 52mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
5453rgen 2608 . . . . . . . 8  |-  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t
55 ssrab 3251 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( F  C_ 
~P U. F  /\  A. t  e.  F  E. x  e.  F  x  C_  t ) )
5649, 54, 55mpbir2an 886 . . . . . . 7  |-  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }
5748, 56jctil 523 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
58 uniexg 4517 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  U. F  e. 
_V )
59 pwexg 4194 . . . . . . . 8  |-  ( U. F  e.  _V  ->  ~P
U. F  e.  _V )
6058, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ~P U. F  e.  _V )
61 rabexg 4164 . . . . . . 7  |-  ( ~P
U. F  e.  _V  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V )
62 sseq2 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( F  C_  z  <->  F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
63 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6463raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6564raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  ( A. u  e.  z  A. v  e.  z 
( u  i^i  v
)  e.  z  <->  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) )
6662, 65anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  (
( F  C_  z  /\  A. u  e.  z 
A. v  e.  z  ( u  i^i  v
)  e.  z )  <-> 
( F  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  (
u  i^i  v )  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6766elabg 2915 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  _V  ->  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6860, 61, 673syl 18 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  <->  ( F  C_ 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  /\  A. u  e. 
{ t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } A. v  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ( u  i^i  v )  e.  {
t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } ) ) )
6957, 68mpbird 223 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F 
C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  (
u  i^i  v )  e.  z ) } )
70 intss1 3877 . . . . 5  |-  ( { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  e.  { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
7169, 70syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  |^| { z  |  ( F  C_  z  /\  A. u  e.  z  A. v  e.  z  ( u  i^i  v )  e.  z ) }  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
721, 71eqsstrd 3212 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  F )  C_  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
7372sselda 3180 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  A  e.  { t  e.  ~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t } )
74 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( t  =  A  ->  (
x  C_  t  <->  x  C_  A
) )
7574rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( t  =  A  ->  ( E. x  e.  F  x  C_  t  <->  E. x  e.  F  x  C_  A
) )
7675elrab 2923 . . 3  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  <->  ( A  e.  ~P U. F  /\  E. x  e.  F  x 
C_  A ) )
7776simprbi 450 . 2  |-  ( A  e.  { t  e. 
~P U. F  |  E. x  e.  F  x  C_  t }  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
7873, 77syl 15 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   ` cfv 5255   ficfi 7164   fBascfbas 17518
This theorem is referenced by:  fbssint  17533  fbunfip  17564  fmfnfmlem1  17649  fmfnfmlem4  17652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-fbas 17520
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