MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fbun Unicode version

Theorem fbun 17535
Description: A necessary and sufficient condition for the union of two filter bases to also be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbun  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, F, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem fbun
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3342 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  ->  x  e.  ( F  u.  G
) )
2 elun2 3343 . . . . 5  |-  ( y  e.  G  ->  y  e.  ( F  u.  G
) )
31, 2anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  G )  ->  ( x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )
4 fbasssin 17531 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( F  u.  G
)  /\  y  e.  ( F  u.  G
) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
543expb 1152 . . . 4  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) )
63, 5sylan2 460 . . 3  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
76ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
8 fbsspw 17527 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_ 
~P X )
10 fbsspw 17527 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  G  C_  ~P X )
1110adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  G  C_ 
~P X )
129, 11unssd 3351 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X )
1312a1d 22 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X ) )
14 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ( F  u.  G
)
15 fbasne0 17525 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
16 ssn0 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  G )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1714, 15, 16sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1918a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) ) )
20 0nelfb 17526 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
21 0nelfb 17526 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  G
)
22 df-nel 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  -.  (/)  e.  ( F  u.  G ) )
23 elun 3316 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G ) )
2423notbii 287 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  (/)  e.  ( F  u.  G )  <->  -.  ( (/) 
e.  F  \/  (/)  e.  G
) )
25 ioran 476 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G )  <-> 
( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2622, 24, 253bitri 262 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2726biimpri 197 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G ) )
2820, 21, 27syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
)
2928a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
) )
30 fbasssin 17531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
31 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
3214, 30, 31mpsyl 59 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
33323expb 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3433ralrimivva 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3534adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
36 pm3.2 434 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
38 r19.26 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
39 ralun 3357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4039ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4138, 40sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4237, 41syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
43 ralcom 2700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
44 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
x  i^i  y )  =  ( w  i^i  y ) )
4544sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  y
) ) )
4645rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  y )
) )
4746cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
4847ralbii 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
49 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
w  i^i  y )  =  ( w  i^i  x ) )
5049sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  x
) ) )
5150rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  x )
) )
52 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( y  i^i  x ) )
53 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
5452, 53syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
5554sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  (
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
5655rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
5751, 56cbvral2v 2772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( w  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5843, 48, 573bitri 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5958biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
60 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  C_  ( F  u.  G
)
61 fbasssin 17531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y
) )
62 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
6360, 61, 62mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
64633expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  G  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6564ralrimivva 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6665adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6759, 66anim12i 549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) ) )  -> 
( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
6867expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
69 r19.26 2675 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7039ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7169, 70sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7268, 71syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7342, 72jcad 519 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
74 ralun 3357 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7573, 74syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7619, 29, 753jcad 1133 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
7713, 76jcad 519 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  C_  ~P X  /\  ( ( F  u.  G )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
78 elfvdm 5554 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
7978adantr 451 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  X  e.  dom  fBas )
80 isfbas2 17530 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8179, 80syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8277, 81sylibrd 225 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
) ) )
837, 82impbid2 195 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    e/ wnel 2447   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   dom cdm 4689   ` cfv 5255   fBascfbas 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fbas 17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator