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Theorem fbun 17864
Description: A necessary and sufficient condition for the union of two filter bases to also be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbun  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, F, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem fbun
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun1 3506 . . . . 5  |-  ( x  e.  F  ->  x  e.  ( F  u.  G
) )
2 elun2 3507 . . . . 5  |-  ( y  e.  G  ->  y  e.  ( F  u.  G
) )
31, 2anim12i 550 . . . 4  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  G )  ->  ( x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )
4 fbasssin 17860 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( F  u.  G
)  /\  y  e.  ( F  u.  G
) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
543expb 1154 . . . 4  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  ( F  u.  G )  /\  y  e.  ( F  u.  G ) ) )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) )
63, 5sylan2 461 . . 3  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
76ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
8 fbsspw 17856 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_ 
~P X )
10 fbsspw 17856 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  G  C_  ~P X )
1110adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  G  C_ 
~P X )
129, 11unssd 3515 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X )
1312a1d 23 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  C_ 
~P X ) )
14 ssun1 3502 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ( F  u.  G
)
15 fbasne0 17854 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
16 ssn0 3652 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  G )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1714, 15, 16sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1817adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) )
1918a1d 23 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  =/=  (/) ) )
20 0nelfb 17855 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
21 0nelfb 17855 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  G
)
22 df-nel 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  -.  (/)  e.  ( F  u.  G ) )
23 elun 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G ) )
2423notbii 288 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  (/)  e.  ( F  u.  G )  <->  -.  ( (/) 
e.  F  \/  (/)  e.  G
) )
25 ioran 477 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  e.  F  \/  (/)  e.  G )  <-> 
( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2622, 24, 253bitri 263 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e/  ( F  u.  G
)  <->  ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G ) )
2726biimpri 198 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  (/)  e.  F  /\  -.  (/)  e.  G )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G ) )
2820, 21, 27syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
)
2928a1d 23 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (/)  e/  ( F  u.  G )
) )
30 fbasssin 17860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y
) )
31 ssrexv 3400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
3214, 30, 31mpsyl 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
33323expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3433ralrimivva 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
3534adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
36 pm3.2 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
38 r19.26 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
39 ralun 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4039ralimi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  F  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4138, 40sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
4237, 41syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
43 ralcom 2860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
44 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
x  i^i  y )  =  ( w  i^i  y ) )
4544sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  y
) ) )
4645rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  y )
) )
4746cbvralv 2924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
4847ralbii 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. x  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y ) )
49 ineq2 3528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
w  i^i  y )  =  ( w  i^i  x ) )
5049sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  z  C_  ( w  i^i  x
) ) )
5150rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  y )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
w  i^i  x )
) )
52 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( y  i^i  x ) )
53 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
5452, 53syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  y  ->  (
w  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
5554sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  y  ->  (
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  z  C_  ( x  i^i  y
) ) )
5655rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( w  i^i  x )  <->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
5751, 56cbvral2v 2932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  G  A. w  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( w  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5843, 48, 573bitri 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  <->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) )
5958biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
60 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  C_  ( F  u.  G
)
61 fbasssin 17860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y
) )
62 ssrexv 3400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G 
C_  ( F  u.  G )  ->  ( E. z  e.  G  z  C_  ( x  i^i  y )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
6360, 61, 62mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  G  /\  y  e.  G )  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
64633expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  X )  /\  (
x  e.  G  /\  y  e.  G )
)  ->  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6564ralrimivva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6665adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
6759, 66anim12i 550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) ) )  -> 
( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y ) ) )
6867expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
69 r19.26 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
)  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7039ralimi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  G  ( A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7169, 70sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  G  A. y  e.  F  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7268, 71syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7342, 72jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
74 ralun 3521 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  /\  A. x  e.  G  A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
)
7573, 74syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  A. x  e.  ( F  u.  G
) A. y  e.  ( F  u.  G
) E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
7619, 29, 753jcad 1135 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
7713, 76jcad 520 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  (
( F  u.  G
)  C_  ~P X  /\  ( ( F  u.  G )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
78 elfvdm 5749 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
7978adantr 452 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  X  e.  dom  fBas )
80 isfbas2 17859 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  ( ( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8179, 80syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  G )  C_ 
~P X  /\  (
( F  u.  G
)  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( F  u.  G )  /\  A. x  e.  ( F  u.  G ) A. y  e.  ( F  u.  G ) E. z  e.  ( F  u.  G ) z  C_  ( x  i^i  y ) ) ) ) )
8277, 81sylibrd 226 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G )
z  C_  ( x  i^i  y )  ->  ( F  u.  G )  e.  ( fBas `  X
) ) )
837, 82impbid2 196 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( F  u.  G
)  e.  ( fBas `  X )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  E. z  e.  ( F  u.  G
) z  C_  (
x  i^i  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598    e/ wnel 2599   A.wral 2697   E.wrex 2698    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   dom cdm 4870   ` cfv 5446   fBascfbas 16681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-fbas 16691
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