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Theorem fbunfip 17580
Description: A helpful lemma for showing that certain sets generate filters. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fbunfip  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, F, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem fbunfip
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfiun 7199 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  G
) )  <->  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi
`  G )  \/ 
E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
21notbid 285 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  -.  ( (/) 
e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
3 3ioran 950 . . . 4  |-  ( -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
4 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
53, 4bitr2i 241 . . 3  |-  ( ( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  -.  ( (/)  e.  ( fi `  F )  \/  (/)  e.  ( fi `  G )  \/  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) )
62, 5syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
7 necom 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  ( x  i^i  y ) )
8 df-ne 2461 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  ( x  i^i  y
)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
97, 8bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
109ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y ) )
11 ralnex 2566 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G )  -.  (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1210, 11bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<->  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
1312ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. x  e.  ( fi `  F
)  -.  E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
14 ralnex 2566 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F )  -.  E. y  e.  ( fi `  G ) (/)  =  ( x  i^i  y )  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y ) )
1513, 14bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )
16 fbasfip 17579 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  F ) )
17 fbasfip 17579 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )
1816, 17anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) ) )
1918biantrurd 494 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G )
(/)  =  ( x  i^i  y )  <->  ( ( -.  (/)  e.  ( fi
`  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi
`  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F
) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) ) ) )
2015, 19syl5rbb 249 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  (
( ( -.  (/)  e.  ( fi `  F )  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  G ) )  /\  -.  E. x  e.  ( fi `  F ) E. y  e.  ( fi `  G
) (/)  =  ( x  i^i  y ) )  <->  A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
21 ssfii 7188 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( fi `  F ) )
22 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( fi `  F )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
24 ssfii 7188 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  G  C_  ( fi `  G ) )
25 ssralv 3250 . . . . . 6  |-  ( G 
C_  ( fi `  G )  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2726ralimdv 2635 . . . 4  |-  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
2823, 27sylan9 638 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/)  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
29 ineq1 3376 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  i^i  y )  =  ( z  i^i  y ) )
3029neeq1d 2472 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  y )  =/=  (/) ) )
31 ineq2 3377 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
z  i^i  y )  =  ( z  i^i  w ) )
3231neeq1d 2472 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  i^i  y
)  =/=  (/)  <->  ( z  i^i  w )  =/=  (/) ) )
3330, 32cbvral2v 2785 . . . 4  |-  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  (
x  i^i  y )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/) )
34 fbssfi 17548 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F
) )  ->  E. z  e.  F  z  C_  x )
35 fbssfi 17548 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  ( fi `  G
) )  ->  E. w  e.  G  w  C_  y
)
36 r19.29 2696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  z  C_  x ) )
37 r19.29 2696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  E. w  e.  G  ( (
z  i^i  w )  =/=  (/)  /\  w  C_  y ) )
38 ss2in 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( x  i^i  y ) )
39 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  <->  ( z  i^i  w )  C_  (/) ) )
40 ss0 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  (/)  ->  ( z  i^i  w )  =  (/) )
4139, 40syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( x  i^i  y )  ->  (
z  i^i  w )  =  (/) ) )
4238, 41syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( z  i^i  w
)  =  (/) ) )
4342necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  C_  x  /\  w  C_  y )  -> 
( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4443ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  (
w  C_  y  ->  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4544com13 74 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( w  C_  y  ->  ( z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) ) )
4645imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4746rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  G  ( ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4837, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
z  C_  x  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4948impancom 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5049rexlimivw 2676 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  F  ( A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5136, 50syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  /\  E. z  e.  F  z  C_  x )  ->  ( E. w  e.  G  w  C_  y  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5251expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  (
z  i^i  w )  =/=  (/)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5352com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  e.  F  z  C_  x  /\  E. w  e.  G  w  C_  y )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5434, 35, 53syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  x  e.  ( fi `  F ) )  /\  ( G  e.  ( fBas `  Y
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5554an4s 799 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( x  e.  ( fi `  F
)  /\  y  e.  ( fi `  G ) ) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5655ralrimdvva 2651 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. z  e.  F  A. w  e.  G  ( z  i^i  w
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5733, 56syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/)  ->  A. x  e.  ( fi `  F
) A. y  e.  ( fi `  G
) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
5828, 57impbid 183 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( A. x  e.  ( fi `  F ) A. y  e.  ( fi `  G ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) 
<-> 
A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) ) )
596, 20, 583bitrd 270 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  G ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  G  ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271   ficfi 7180   fBascfbas 17534
This theorem is referenced by:  isufil2  17619  ufileu  17630  filufint  17631  fmfnfm  17669  hausflim  17692  flimclslem  17695  fclsfnflim  17738  flimfnfcls  17739  cnfilca  25659
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-fbas 17536
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