Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcfnei Structured version   Unicode version

Theorem fcfnei 18059
 Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 18058 . 2 TopOn
2 simpll1 996 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
3 topontop 16983 . . . . . . . 8 TopOn
42, 3syl 16 . . . . . . 7 TopOn
5 simpr 448 . . . . . . . 8 TopOn
6 eqid 2435 . . . . . . . . 9
76neii1 17162 . . . . . . . 8
84, 5, 7syl2anc 643 . . . . . . 7 TopOn
96ntrss2 17113 . . . . . . 7
104, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6 TopOn
11 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
12 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
132, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1411, 13eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1514snssd 3935 . . . . . . . . . 10 TopOn
166neiint 17160 . . . . . . . . . 10
174, 15, 8, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 TopOn
185, 17mpbid 202 . . . . . . . 8 TopOn
19 snssg 3924 . . . . . . . . 9
2011, 19syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
2118, 20mpbird 224 . . . . . . 7 TopOn
226ntropn 17105 . . . . . . . . 9
234, 8, 22syl2anc 643 . . . . . . . 8 TopOn
24 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10
25 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . 12
2625neeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11
2726ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10
2824, 27imbi12d 312 . . . . . . . . 9
2928rspcv 3040 . . . . . . . 8
3023, 29syl 16 . . . . . . 7 TopOn
3121, 30mpid 39 . . . . . 6 TopOn
32 ssrin 3558 . . . . . . . 8
33 ssn0 3652 . . . . . . . . 9
3433ex 424 . . . . . . . 8
3532, 34syl 16 . . . . . . 7
3635ralimdv 2777 . . . . . 6
3710, 31, 36sylsyld 54 . . . . 5 TopOn
3837ralrimdva 2788 . . . 4 TopOn
39 simpl1 960 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4039, 3syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
41 opnneip 17175 . . . . . . . . . 10
42413expb 1154 . . . . . . . . 9
4340, 42sylan 458 . . . . . . . 8 TopOn
44 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11
4544neeq1d 2611 . . . . . . . . . 10
4645ralbidv 2717 . . . . . . . . 9
4746rspcv 3040 . . . . . . . 8
4843, 47syl 16 . . . . . . 7 TopOn
4948expr 599 . . . . . 6 TopOn
5049com23 74 . . . . 5 TopOn
5150ralrimdva 2788 . . . 4 TopOn
5238, 51impbid 184 . . 3 TopOn
5352pm5.32da 623 . 2 TopOn
541, 53bitrd 245 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cin 3311   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cuni 4007  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cnt 17073  cnei 17153  cfil 17869   cfcf 17961 This theorem is referenced by:  fcfneii  18061 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-fil 17870  df-fm 17962  df-fcls 17965  df-fcf 17966
 Copyright terms: Public domain W3C validator