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Theorem fcfnei 17746
Description: The property of being a cluster point of a function in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    n, s, J    n, L, s    n, F, s    n, X, s    n, Y, s
Allowed substitution hint:    A( s)

Proof of Theorem fcfnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfcf 17745 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) ) )
2 simpll1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
3 topontop 16680 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
5 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
6 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
76neii1 16859 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J
)
84, 5, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  n  C_  U. J )
96ntrss2 16810 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  C_  n )
104, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  C_  n )
11 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
12 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
132, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
1514snssd 3776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
166neiint 16857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  n  C_  U. J
)  ->  ( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
174, 15, 8, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
185, 17mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
)
19 snssg 3767 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  n
) ) )
2011, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  n )
) )
2118, 20mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  n ) )
226ntropn 16802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  n
)  e.  J )
234, 8, 22syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  n )  e.  J )
24 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A  e.  o  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  n )
) )
25 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =  ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) ) )
2625neeq1d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<->  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2726ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( A. s  e.  L  (
o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
2824, 27imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ( ( int `  J ) `  n
)  ->  ( ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
2928rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
3023, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  n )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) ) )
3121, 30mpid 37 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
32 ssrin 3407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) ) )
33 ssn0 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( int `  J ) `  n
)  i^i  ( F " s ) )  C_  ( n  i^i  ( F " s ) )  /\  ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  -> 
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )
3433ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  C_  (
n  i^i  ( F " s ) )  -> 
( ( ( ( int `  J ) `
 n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3635ralimdv 2635 . . . . . 6  |-  ( ( ( int `  J
) `  n )  C_  n  ->  ( A. s  e.  L  (
( ( int `  J
) `  n )  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
3710, 31, 36sylsyld 52 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) )  ->  A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
3837ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
39 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4039, 3syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
41 opnneip 16872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
42413expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o
) )  ->  o  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
4340, 42sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
44 ineq1 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  ( F " s ) )  =  ( o  i^i  ( F " s ) ) )
4544neeq1d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4645ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )
4746rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4843, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
4948expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5049com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F
" s ) )  =/=  (/) ) ) )
5150ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
5238, 51impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) )  <->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) )
5352pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  L  ( o  i^i  ( F " s ) )  =/=  (/) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
541, 53bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fClusf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  L  ( n  i^i  ( F " s
) )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770   neicnei 16850   Filcfil 17556    fClusf cfcf 17648
This theorem is referenced by:  fcfneii  17748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-fcls 17652  df-fcf 17653
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