Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcfval Structured version   Unicode version

Theorem fcfval 18065
 Description: The set of cluster points of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fcfval TopOn

Proof of Theorem fcfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fcf 17974 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4 TopOn
3 simprl 733 . . . . . . . 8 TopOn
43unieqd 4026 . . . . . . 7 TopOn
5 toponuni 16992 . . . . . . . 8 TopOn
65ad2antrr 707 . . . . . . 7 TopOn
74, 6eqtr4d 2471 . . . . . 6 TopOn
8 unieq 4024 . . . . . . . 8
98ad2antll 710 . . . . . . 7 TopOn
10 filunibas 17913 . . . . . . . 8
1110ad2antlr 708 . . . . . . 7 TopOn
129, 11eqtrd 2468 . . . . . 6 TopOn
137, 12oveq12d 6099 . . . . 5 TopOn
147oveq1d 6096 . . . . . . 7 TopOn
15 simprr 734 . . . . . . 7 TopOn
1614, 15fveq12d 5734 . . . . . 6 TopOn
173, 16oveq12d 6099 . . . . 5 TopOn
1813, 17mpteq12dv 4287 . . . 4 TopOn
19 topontop 16991 . . . . 5 TopOn
2019adantr 452 . . . 4 TopOn
21 fvssunirn 5754 . . . . . 6
2221sseli 3344 . . . . 5
2322adantl 453 . . . 4 TopOn
24 ovex 6106 . . . . . 6
2524mptex 5966 . . . . 5
2625a1i 11 . . . 4 TopOn
272, 18, 20, 23, 26ovmpt2d 6201 . . 3 TopOn
29 simpr 448 . . . . 5 TopOn
3029oveq2d 6097 . . . 4 TopOn
3130fveq1d 5730 . . 3 TopOn
3231oveq2d 6097 . 2 TopOn
33 toponmax 16993 . . . 4 TopOn
34 filtop 17887 . . . 4
35 elmapg 7031 . . . 4
3633, 34, 35syl2an 464 . . 3 TopOn
3736biimp3ar 1284 . 2 TopOn
38 ovex 6106 . . 3
3938a1i 11 . 2 TopOn
4028, 32, 37, 39fvmptd 5810 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956  cuni 4015   cmpt 4266   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083   cmap 7018  ctop 16958  TopOnctopon 16959  cfil 17877   cfm 17965   cfcls 17968   cfcf 17969 This theorem is referenced by:  isfcf  18066  fcfelbas  18068  flfssfcf  18070  uffcfflf  18071  cnpfcfi  18072  cnpfcf  18073 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-fbas 16699  df-top 16963  df-topon 16966  df-fil 17878  df-fcf 17974
 Copyright terms: Public domain W3C validator