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Theorem fclsbas 17716
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fclsbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, B    o, F    o, J    o, X
Allowed substitution hints:    A( s)    F( s)    J( s)    X( s)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4  |-  F  =  ( X filGen B )
2 fgcl 17573 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
) )
41, 3syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fclsopn 17709 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
64, 5syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  e.  ( fBas `  X ) )
8 ssfg 17567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
109, 1syl6sseqr 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  F )
11 ssralv 3237 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  F  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
13 ineq2 3364 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
o  i^i  t )  =  ( o  i^i  s ) )
1413neeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
1514cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  B  (
o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )
1612, 15syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
171eleq2i 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  F  <->  t  e.  ( X filGen B ) )
18 elfg 17566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen B )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
197, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  ( X filGen B )  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
2017, 19syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  F  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s 
C_  t ) ) )
2120simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  E. s  e.  B  s  C_  t )
22 r19.29r 2684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
23 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  t  ->  (
o  i^i  s )  C_  ( o  i^i  t
) )
24 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  i^i  s
)  C_  ( o  i^i  t )  /\  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2523, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2625rexlimivw 2663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2827ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  B  s 
C_  t  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2921, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
3029ralrimdva 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
3116, 30impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o )  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3332pm5.74da 668 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3433ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3534pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
366, 35bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fcls 17636
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