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Theorem fclsbas 17732
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fclsbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, B    o, F    o, J    o, X
Allowed substitution hints:    A( s)    F( s)    J( s)    X( s)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4  |-  F  =  ( X filGen B )
2 fgcl 17589 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
) )
41, 3syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fclsopn 17725 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
64, 5syldan 456 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  e.  ( fBas `  X ) )
8 ssfg 17583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
109, 1syl6sseqr 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  F )
11 ssralv 3250 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  F  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
13 ineq2 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
o  i^i  t )  =  ( o  i^i  s ) )
1413neeq1d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
1514cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  B  (
o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )
1612, 15syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
171eleq2i 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  F  <->  t  e.  ( X filGen B ) )
18 elfg 17582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen B )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
197, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  ( X filGen B )  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
2017, 19syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  F  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s 
C_  t ) ) )
2120simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  E. s  e.  B  s  C_  t )
22 r19.29r 2697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
23 sslin 3408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  t  ->  (
o  i^i  s )  C_  ( o  i^i  t
) )
24 ssn0 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  i^i  s
)  C_  ( o  i^i  t )  /\  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2523, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2625rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2722, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2827ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  B  s 
C_  t  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2921, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
3029ralrimdva 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
3116, 30impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o )  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3332pm5.74da 668 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3433ralbidva 2572 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3534pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
366, 35bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556    fClus cfcls 17647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fcls 17652
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