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Theorem fclsbas 18053
Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclsbas.f  |-  F  =  ( X filGen B )
Assertion
Ref Expression
fclsbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, o    o, s, B    o, F    o, J    o, X
Allowed substitution hints:    A( s)    F( s)    J( s)    X( s)

Proof of Theorem fclsbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclsbas.f . . . 4  |-  F  =  ( X filGen B )
2 fgcl 17910 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
32adantl 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
) )
41, 3syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
5 fclsopn 18046 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
64, 5syldan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7 ssfg 17904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
87ad3antlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
98, 1syl6sseqr 3395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  B  C_  F )
10 ssralv 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  F  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  B  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
12 ineq2 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  (
o  i^i  t )  =  ( o  i^i  s ) )
1312neeq1d 2614 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
1413cbvralv 2932 . . . . . . . 8  |-  ( A. t  e.  B  (
o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )
1511, 14syl6ib 218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
161eleq2i 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  F  <->  t  e.  ( X filGen B ) )
17 elfg 17903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen B )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
1817ad3antlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  ( X filGen B )  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
1916, 18syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( t  e.  F  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  B  s 
C_  t ) ) )
2019simplbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  E. s  e.  B  s  C_  t )
21 r19.29r 2847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
22 sslin 3567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  t  ->  (
o  i^i  s )  C_  ( o  i^i  t
) )
23 ssn0 3660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( o  i^i  s
)  C_  ( o  i^i  t )  /\  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2422, 23sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2524rexlimivw 2826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  B  ( s  C_  t  /\  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) )  -> 
( o  i^i  t
)  =/=  (/) )
2621, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. s  e.  B  s  C_  t  /\  A. s  e.  B  (
o  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) )
2726ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( E. s  e.  B  s 
C_  t  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  (
o  e.  J  /\  A  e.  o )
)  /\  t  e.  F )  ->  ( A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/)  ->  (
o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2928ralrimdva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/) ) )
3015, 29impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. t  e.  F  ( o  i^i  t )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3130anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  A  e.  X )  /\  o  e.  J )  /\  A  e.  o )  ->  ( A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231pm5.74da 669 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  (
( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3332ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3433pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. t  e.  F  ( o  i^i  t
)  =/=  (/) ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
356, 34bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  B  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690  TopOnctopon 16959   Filcfil 17877    fClus cfcls 17968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-fil 17878  df-fcls 17973
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