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Theorem fclscf 18049
 Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
2 simplr 732 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
3 fclstopon 18036 . . . . . . . . 9 TopOn
43ad2antll 710 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
52, 4mpbid 202 . . . . . . 7 TopOn TopOn
6 simprl 733 . . . . . . 7 TopOn TopOn
7 fclsss1 18046 . . . . . . 7 TopOn
81, 5, 6, 7syl3anc 1184 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 simprr 734 . . . . . 6 TopOn TopOn
108, 9sseldd 3341 . . . . 5 TopOn TopOn
1110expr 599 . . . 4 TopOn TopOn
1211ssrdv 3346 . . 3 TopOn TopOn
1312ralrimivw 2782 . 2 TopOn TopOn
14 simpllr 736 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
15 toponmax 16985 . . . . . . . . 9 TopOn
16 ssid 3359 . . . . . . . . . . 11
17 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13
18 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
2019rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
2116, 20mpanr2 666 . . . . . . . . . 10
2221ex 424 . . . . . . . . 9
2314, 15, 223syl 19 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
24 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
25 sseq2 3362 . . . . . . . . . . 11
2625anbi2d 685 . . . . . . . . . 10
2726rexbidv 2718 . . . . . . . . 9
2824, 27imbi12d 312 . . . . . . . 8
2923, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . 7 TopOn TopOn
30 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
31 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
32 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
33 supnfcls 18044 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3430, 31, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
35 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn TopOn
36 toponmax 16985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
38 difssd 3467 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
39 toponss 16986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4030, 31, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
41 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
42 pssdifn0 3681 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
44 supfil 17919 . . . . . . . . . . . . . . 15
4537, 38, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
46 fclsopn 18038 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
4735, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
4840, 32sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
4948biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
5047, 49bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
51 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
52 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53sseq12d 3369 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554rspcv 3040 . . . . . . . . . . . . . 14
5645, 51, 55sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
5756sseld 3339 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
5850, 57sylbird 227 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
5934, 58mtod 170 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
60 rexanali 2743 . . . . . . . . . . 11
61 rexnal 2708 . . . . . . . . . . . . . 14
62 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6362elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 sslin 3559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 ssn0 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6867ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6968necon1bd 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 inssdif0 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7169, 70syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
72 toponss 16986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
7335, 72sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn
74 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7573, 74sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
7675sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn TopOn
7776biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
7871, 77syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
7966, 78syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
8079rexlimdv 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
8161, 80syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
8281anim2d 549 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
8382reximdva 2810 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
8460, 83syl5bir 210 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
8559, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
8685anassrs 630 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8786exp32 589 . . . . . . 7 TopOn TopOn
8829, 87pm2.61dne 2675 . . . . . 6 TopOn TopOn
8988ralrimiv 2780 . . . . 5 TopOn TopOn
90 topontop 16983 . . . . . 6 TopOn
91 eltop2 17032 . . . . . 6
9214, 90, 913syl 19 . . . . 5 TopOn TopOn
9389, 92mpbird 224 . . . 4 TopOn TopOn
9493ex 424 . . 3 TopOn TopOn
9594ssrdv 3346 . 2 TopOn TopOn
9613, 95impbida 806 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  crab 2701   cdif 3309   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cfil 17869   cfcls 17960 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-topgen 13659  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-fil 17870  df-fcls 17965
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