MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclscf Unicode version

Theorem fclscf 17980
Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, K    f, X

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables  n  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
3 fclstopon 17967 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X )  <->  f  e.  ( Fil `  X
) ) )
43ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X
)  <->  f  e.  ( Fil `  X ) ) )
52, 4mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
6 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  C_  K )
7 fclsss1 17977 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
9 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( K  fClus  f ) )
108, 9sseldd 3294 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  f ) )
1110expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  x  e.  ( J  fClus  f )
) )
1211ssrdv 3299 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
1312ralrimivw 2735 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
14 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
15 toponmax 16918 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  K )
16 ssid 3312 . . . . . . . . . . 11  |-  X  C_  X
17 eleq2 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  X ) )
18 sseq1 3314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
u  C_  X  <->  X  C_  X
) )
1917, 18anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  X )  <-> 
( y  e.  X  /\  X  C_  X ) ) )
2019rspcev 2997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( y  e.  X  /\  X  C_  X ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2116, 20mpanr2 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  K  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2221ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  K  ->  (
y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2314, 15, 223syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
24 eleq2 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  X ) )
25 sseq2 3315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  x  <->  u  C_  X
) )
2625anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <-> 
( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2726rexbidv 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2824, 27imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )  <->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) ) )
2923, 28syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
30 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  e.  J
)
32 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  x
)
33 supnfcls 17975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) )
35 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
36 toponmax 16918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  X  e.  J
)
38 difssd 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  C_  X
)
39 toponss 16919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
4030, 31, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  C_  X
)
41 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  =/=  X
)
42 pssdifn0 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) )
44 supfil 17850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/) )  ->  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
4537, 38, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
46 fclsopn 17969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } )  <-> 
( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4735, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4840, 32sseldd 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  X
)
4948biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
5047, 49bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) )
51 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) )
52 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( K  fClus  f )  =  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
53 oveq2 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
5452, 53sseq12d 3322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f )  <->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5554rspcv 2993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5645, 51, 55sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) )
5756sseld 3292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  ->  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) ) )
5850, 57sylbird 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  -> 
y  e.  ( J 
fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) ) )
5934, 58mtod 170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
60 rexanali 2697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
61 rexnal 2662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }  -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  <->  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
62 sseq2 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( X  \  x
)  C_  y  <->  ( X  \  x )  C_  n
) )
6362elrab 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  <->  ( n  e.  ~P X  /\  ( X  \  x )  C_  n ) )
6463simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( X  \  x ) 
C_  n )
65 sslin 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  \  x ) 
C_  n  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  C_  ( u  i^i  n
) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n ) )
67 ssn0 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( u  i^i  ( X  \  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  /\  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
6867ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  (
( u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
6968necon1bd 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/) ) )
70 inssdif0 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
7169, 70syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  X )  C_  x ) )
72 toponss 16919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
7335, 72sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
74 df-ss 3279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u 
C_  X  <->  ( u  i^i  X )  =  u )
7573, 74sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( u  i^i  X
)  =  u )
7675sseq1d 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  <->  u 
C_  x ) )
7776biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  ->  u  C_  x )
)
7871, 77syl9r 69 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i  ( X  \  x
) )  C_  (
u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
7966, 78syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ->  ( -.  (
u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
8079rexlimdv 2774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. n  e. 
{ y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8161, 80syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8281anim2d 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8382reximdva 2763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8460, 83syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( -.  A. u  e.  K  (
y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y } 
( u  i^i  n
)  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8559, 84mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8685anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J )  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8786exp32 589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =/=  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
8829, 87pm2.61dne 2629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8988ralrimiv 2733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
90 topontop 16916 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  K  e.  Top )
91 eltop2 16965 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  (
x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9214, 90, 913syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9389, 92mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  K )
9493ex 424 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  -> 
( x  e.  J  ->  x  e.  K ) )
9594ssrdv 3299 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  ->  J  C_  K )
9613, 95impbida 806 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655    \ cdif 3262    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   ~Pcpw 3744   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   Filcfil 17800    fClus cfcls 17891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-topgen 13596  df-fbas 16625  df-top 16888  df-topon 16891  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-fil 17801  df-fcls 17896
  Copyright terms: Public domain W3C validator