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Theorem fclscf 17720
 Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
2 simplr 731 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
3 fclstopon 17707 . . . . . . . . 9 TopOn
43ad2antll 709 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
52, 4mpbid 201 . . . . . . 7 TopOn TopOn
6 simprl 732 . . . . . . 7 TopOn TopOn
7 fclsss1 17717 . . . . . . 7 TopOn
81, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . 6 TopOn TopOn
9 simprr 733 . . . . . 6 TopOn TopOn
108, 9sseldd 3181 . . . . 5 TopOn TopOn
1110expr 598 . . . 4 TopOn TopOn
1211ssrdv 3185 . . 3 TopOn TopOn
1312ralrimivw 2627 . 2 TopOn TopOn
14 simpllr 735 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
15 toponmax 16666 . . . . . . . . 9 TopOn
16 ssid 3197 . . . . . . . . . . 11
17 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13
18 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12
2019rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11
2116, 20mpanr2 665 . . . . . . . . . 10
2221ex 423 . . . . . . . . 9
2314, 15, 223syl 18 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
24 eleq2 2344 . . . . . . . . 9
25 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11
2625anbi2d 684 . . . . . . . . . 10
2726rexbidv 2564 . . . . . . . . 9
2824, 27imbi12d 311 . . . . . . . 8
2923, 28syl5ibrcom 213 . . . . . . 7 TopOn TopOn
30 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
31 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
32 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
33 supnfcls 17715 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3430, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
35 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn TopOn
36 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
3730, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
38 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
40 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4130, 31, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
42 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
43 pssdifn0 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
45 supfil 17590 . . . . . . . . . . . . . . 15
4637, 39, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
47 fclsopn 17709 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
4835, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
4941, 32sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
5049biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
5148, 50bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
52 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
53 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5553, 54sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14
5746, 52, 56sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
5857sseld 3179 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
5951, 58sylbird 226 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
6034, 59mtod 168 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
61 rexanali 2589 . . . . . . . . . . 11
62 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . 14
63 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6463elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6968ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069necon1bd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 TopOn
7435, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn TopOn
75 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7674, 75sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
7776sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn TopOn
7877biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn TopOn
7972, 78syl9r 67 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn TopOn
8067, 79syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
8180rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
8262, 81syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
8382anim2d 548 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
8483reximdva 2655 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
8561, 84syl5bir 209 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
8660, 85mpd 14 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
8786anassrs 629 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8887exp32 588 . . . . . . 7 TopOn TopOn
8929, 88pm2.61dne 2523 . . . . . 6 TopOn TopOn
9089ralrimiv 2625 . . . . 5 TopOn TopOn
91 topontop 16664 . . . . . 6 TopOn
92 eltop2 16713 . . . . . 6
9314, 91, 923syl 18 . . . . 5 TopOn TopOn
9490, 93mpbird 223 . . . 4 TopOn TopOn
9594ex 423 . . 3 TopOn TopOn
9695ssrdv 3185 . 2 TopOn TopOn
9713, 96impbida 805 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   cdif 3149   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpw 3625  cfv 5255  (class class class)co 5858  ctop 16631  TopOnctopon 16632  cfil 17540   cfcls 17631 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
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