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Theorem fclscf 17720
Description: Characterization of fineness of topologies in terms of cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclscf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, K    f, X

Proof of Theorem fclscf
Dummy variables  n  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X )
)
3 fclstopon 17707 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X )  <->  f  e.  ( Fil `  X
) ) )
43ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  e.  (TopOn `  X
)  <->  f  e.  ( Fil `  X ) ) )
52, 4mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
6 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  J  C_  K )
7 fclsss1 17717 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
9 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( K  fClus  f ) )
108, 9sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  ( J  C_  K  /\  x  e.  ( K  fClus  f ) ) )  ->  x  e.  ( J  fClus  f ) )
1110expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( x  e.  ( K  fClus  f )  ->  x  e.  ( J  fClus  f )
) )
1211ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
1312ralrimivw 2627 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  J  C_  K
)  ->  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )
14 simpllr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
15 toponmax 16666 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  K )
16 ssid 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  X  C_  X
17 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
y  e.  u  <->  y  e.  X ) )
18 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  X  ->  (
u  C_  X  <->  X  C_  X
) )
1917, 18anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  X )  <-> 
( y  e.  X  /\  X  C_  X ) ) )
2019rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( y  e.  X  /\  X  C_  X ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2116, 20mpanr2 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  K  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) )
2221ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  K  ->  (
y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2314, 15, 223syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
24 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  X ) )
25 sseq2 3200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  x  <->  u  C_  X
) )
2625anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <-> 
( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2726rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x )  <->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) )
2824, 27imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )  <->  ( y  e.  X  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  X ) ) ) )
2923, 28syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
30 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
31 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  e.  J
)
32 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  x
)
33 supnfcls 17715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) )
35 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
36 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3730, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  X  e.  J
)
38 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X 
\  x )  C_  X
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  C_  X
)
40 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  X )
4130, 31, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  C_  X
)
42 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  x  =/=  X
)
43 pssdifn0 3515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  X  /\  x  =/=  X )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( X  \  x )  =/=  (/) )
45 supfil 17590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/) )  ->  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
4637, 39, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )
47 fclsopn 17709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } )  <-> 
( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4835, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
4941, 32sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  y  e.  X
)
5049biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  ( y  e.  X  /\  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) ) )
5148, 50bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  <->  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) ) )
52 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) )
53 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( K  fClus  f )  =  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
54 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( J  fClus  f )  =  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) )
5553, 54sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f )  <->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5655rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  e.  ( Fil `  X )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) ) )
5746, 52, 56sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } )  C_  ( J  fClus  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y } ) )
5857sseld 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( y  e.  ( K  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
)  ->  y  e.  ( J  fClus  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }
) ) )
5951, 58sylbird 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  -> 
y  e.  ( J 
fClus  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y } ) ) )
6034, 59mtod 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
61 rexanali 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )  <->  -.  A. u  e.  K  ( y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
62 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y }  -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  <->  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
63 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( X  \  x
)  C_  y  <->  ( X  \  x )  C_  n
) )
6463elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  <->  ( n  e.  ~P X  /\  ( X  \  x )  C_  n ) )
6564simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( X  \  x ) 
C_  n )
66 sslin 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  \  x ) 
C_  n  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  C_  ( u  i^i  n
) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  { y  e. 
~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  ->  ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n ) )
68 ssn0 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( u  i^i  ( X  \  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  /\  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/) )  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) )
6968ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  (
( u  i^i  ( X  \  x ) )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  n )  =/=  (/) ) )
7069necon1bd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  ( X  \  x ) )  =  (/) ) )
71 inssdif0 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( u  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
7270, 71syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  i^i  ( X 
\  x ) ) 
C_  ( u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  X )  C_  x ) )
73 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
7435, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  u  C_  X )
75 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u 
C_  X  <->  ( u  i^i  X )  =  u )
7674, 75sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( u  i^i  X
)  =  u )
7776sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  <->  u 
C_  x ) )
7877biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i 
X )  C_  x  ->  u  C_  x )
)
7972, 78syl9r 67 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( u  i^i  ( X  \  x
) )  C_  (
u  i^i  n )  ->  ( -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
8067, 79syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( n  e.  {
y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ->  ( -.  (
u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x
) ) )
8180rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( E. n  e. 
{ y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  -.  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8262, 81syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x )  C_  y }  ( u  i^i  n )  =/=  (/)  ->  u  C_  x ) )
8382anim2d 548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) ) )  /\  u  e.  K )  ->  ( ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  (
y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8483reximdva 2655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  -.  A. n  e.  { y  e.  ~P X  |  ( X  \  x ) 
C_  y }  (
u  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8561, 84syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  ( -.  A. u  e.  K  (
y  e.  u  ->  A. n  e.  { y  e.  ~P X  | 
( X  \  x
)  C_  y } 
( u  i^i  n
)  =/=  (/) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
8660, 85mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  ( x  e.  J  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x ) ) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8786anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J )  /\  ( x  =/=  X  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
8887exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  =/=  X  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) ) )
8929, 88pm2.61dne 2523 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( y  e.  x  ->  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9089ralrimiv 2625 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) )
91 topontop 16664 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  X
)  ->  K  e.  Top )
92 eltop2 16713 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  (
x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9314, 91, 923syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  ( x  e.  K  <->  A. y  e.  x  E. u  e.  K  ( y  e.  u  /\  u  C_  x ) ) )
9490, 93mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X ) )  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K 
fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  /\  x  e.  J
)  ->  x  e.  K )
9594ex 423 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  -> 
( x  e.  J  ->  x  e.  K ) )
9695ssrdv 3185 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( K  fClus  f )  C_  ( J  fClus  f ) )  ->  J  C_  K )
9713, 96impbida 805 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( J  C_  K  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( K  fClus  f ) 
C_  ( J  fClus  f ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
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