Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclscmpi Structured version   Unicode version

Theorem fclscmpi 18063
 Description: Forward direction of fclscmp 18064. Every filter clusters in a compact space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flimfnfcls.x
Assertion
Ref Expression
fclscmpi

Proof of Theorem fclscmpi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmptop 17460 . . . 4
2 flimfnfcls.x . . . . . 6
32fclsval 18042 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . . 6
5 iftrue 3747 . . . . . 6
64, 5ax-mp 8 . . . . 5
73, 6syl6eq 2486 . . . 4
81, 7sylan 459 . . 3
9 fvex 5744 . . . 4
109dfiin3 5127 . . 3
118, 10syl6eq 2486 . 2
12 simpl 445 . . 3
1312adantr 453 . . . . . . 7
1413, 1syl 16 . . . . . 6
15 filelss 17886 . . . . . . 7
1615adantll 696 . . . . . 6
172clscld 17113 . . . . . 6
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5
19 eqid 2438 . . . . 5
2018, 19fmptd 5895 . . . 4
21 frn 5599 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3
23 simpr 449 . . . . . 6
2423adantr 453 . . . . . . . . 9
25 simpr 449 . . . . . . . . 9
262clsss3 17125 . . . . . . . . . 10
2714, 16, 26syl2anc 644 . . . . . . . . 9
282sscls 17122 . . . . . . . . . 10
2914, 16, 28syl2anc 644 . . . . . . . . 9
30 filss 17887 . . . . . . . . 9
3124, 25, 27, 29, 30syl13anc 1187 . . . . . . . 8
3231, 19fmptd 5895 . . . . . . 7
33 frn 5599 . . . . . . 7
3432, 33syl 16 . . . . . 6
35 fiss 7431 . . . . . 6
3623, 34, 35syl2anc 644 . . . . 5
37 filfi 17893 . . . . . 6
3823, 37syl 16 . . . . 5
3936, 38sseqtrd 3386 . . . 4
40 0nelfil 17883 . . . . 5
4123, 40syl 16 . . . 4
4239, 41ssneldd 3353 . . 3
43 cmpfii 17474 . . 3
4412, 22, 42, 43syl3anc 1185 . 2
4511, 44eqnetrd 2621 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wss 3322  c0 3630  cif 3741  cuni 4017  cint 4052  ciin 4096   cmpt 4268   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfi 7417  ctop 16960  ccld 17082  ccl 17084  ccmp 17451  cfil 17879   cfcls 17970 This theorem is referenced by:  fclscmp  18064  ufilcmp  18066  relcmpcmet  19271 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-fbas 16701  df-top 16965  df-cld 17085  df-cls 17087  df-cmp 17452  df-fil 17880  df-fcls 17975
 Copyright terms: Public domain W3C validator