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Theorem fclsfnflim 17722
Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsfnflim  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    g, X

Proof of Theorem fclsfnflim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 17546 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
21adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ~P X )
3 fclstop 17706 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
43adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  Top )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
65neisspw 16844 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ~P U. J )
74, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P U. J )
8 filunibas 17576 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
95fclsfil 17705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
10 filunibas 17576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  U. F  = 
U. J )
128, 11sylan9req 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
1312pweqd 3630 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ~P X  =  ~P U. J )
147, 13sseqtr4d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P X )
152, 14unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ~P X )
16 ssun1 3338 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) )
17 filn0 17557 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
18 ssn0 3487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/) )
1916, 17, 18sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  =/=  (/) )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  =/=  (/) )
21 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
22 fclsneii 17712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  x  e.  F )  ->  (
y  i^i  x )  =/=  (/) )
2321, 22syl5eqner 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
24233com23 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
25243expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
2625adantll 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F )
)  /\  ( x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
2726ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
28 filfbas 17543 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
30 istopon 16663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
314, 12, 30sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
325fclselbas 17711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  U. J )
3433, 12eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  X )
3534snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  { A }  C_  X )
36 snnzg 3743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  { A }  =/=  (/) )
3736adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  { A }  =/=  (/) )
38 neifil 17575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
3931, 35, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( Fil `  X
) )
40 filfbas 17543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)
4139, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( fBas `  X
) )
42 fbunfip 17564 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4329, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4427, 43mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
45 filtop 17550 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
46 fsubbas 17562 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4847adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4915, 20, 44, 48mpbir3and 1135 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )
50 fgcl 17573 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
5149, 50syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
52 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  e.  _V
53 unexg 4521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  _V )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  e. 
_V )
5452, 53mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  e. 
_V )
55 ssfii 7172 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )  e.  _V  ->  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5654, 55syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5756adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5816, 57syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )
59 ssfg 17567 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )
6049, 59syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )
6158, 60sstrd 3189 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )
62 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  C_  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
6362, 57syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
6463, 60sstrd 3189 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )
65 elflim 17666 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
6631, 51, 65syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
6734, 64, 66mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
68 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
69 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
7069eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  <->  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
7168, 70anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) ) )
7271rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )
7351, 61, 67, 72syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )
7473ex 423 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
75 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
76 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g )
)
77 flimtopon 17665 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  g  e.  ( Fil `  X
) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  g  e.  ( Fil `  X
) ) )
7975, 78mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
80 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
81 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  F  C_  g
)
82 fclsss2 17718 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fClus  g )  C_  ( J  fClus  F ) )
8379, 80, 81, 82syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  ( J  fClus  g )  C_  ( J  fClus  F ) )
84 flimfcls 17721 . . . . . 6  |-  ( J 
fLim  g )  C_  ( J  fClus  g )
8584, 76sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)
8683, 85sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F )
)
8786expr 598 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F )
) )
8887rexlimdva 2667 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8974, 88impbid 183 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ficfi 7164   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540    fLim cflim 17629    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  uffclsflim  17726  cnpfcfi  17735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-fcls 17636
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