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Theorem fclsfnflim 18016
Description: A filter clusters at a point iff a finer filter converges to it. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsfnflim  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    g, J    g, X

Proof of Theorem fclsfnflim
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filsspw 17840 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
21adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ~P X )
3 fclstop 18000 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
43adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  Top )
5 eqid 2408 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
65neisspw 17130 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ~P U. J )
74, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P U. J )
8 filunibas 17870 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
95fclsfil 17999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
10 filunibas 17870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  U. F  = 
U. J )
128, 11sylan9req 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  X  =  U. J )
1312pweqd 3768 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ~P X  =  ~P U. J )
147, 13sseqtr4d 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ~P X )
152, 14unssd 3487 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ~P X )
16 ssun1 3474 . . . . . . . 8  |-  F  C_  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) )
17 filn0 17851 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
18 ssn0 3624 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/) )
1916, 17, 18sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  =/=  (/) )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  =/=  (/) )
21 incom 3497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
22 fclsneii 18006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  x  e.  F )  ->  (
y  i^i  x )  =/=  (/) )
2321, 22syl5eqner 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
24233com23 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
25243expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
2625adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F )
)  /\  ( x  e.  F  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
2726ralrimivva 2762 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) )
28 filfbas 17837 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2928adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
30 istopon 16949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
314, 12, 30sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
325fclselbas 18005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3332adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  U. J )
3433, 12eleqtrrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  X )
3534snssd 3907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  { A }  C_  X )
36 snnzg 3885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  { A }  =/=  (/) )
3736adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  { A }  =/=  (/) )
38 neifil 17869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/) )  -> 
( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X ) )
3931, 35, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( Fil `  X
) )
40 filfbas 17837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  e.  ( Fil `  X )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  e.  ( fBas `  X
) )
42 fbunfip 17858 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4329, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  <->  A. x  e.  F  A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ( x  i^i  y )  =/=  (/) ) )
4427, 43mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
45 filtop 17844 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
46 fsubbas 17856 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) 
C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4847adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
4915, 20, 44, 48mpbir3and 1137 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
) )
50 fgcl 17867 . . . . 5  |-  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
52 fvex 5705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  e.  _V
53 unexg 4673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  e.  _V )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  e. 
_V )
5452, 53mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  e. 
_V )
55 ssfii 7386 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  u.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )  e.  _V  ->  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5756adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
5857unssad 3488 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )
59 ssfg 17861 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )
6049, 59syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )
6158, 60sstrd 3322 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )
6257unssbd 3489 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )
6362, 60sstrd 3322 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( ( nei `  J ) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )
64 elflim 17960 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
6531, 51, 64syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
6634, 63, 65mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
67 sseq2 3334 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
68 oveq2 6052 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( J  fLim  g )  =  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) )
6968eleq2d 2475 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  g
)  <->  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) ) ) ) )
7067, 69anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( g  =  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  ->  ( ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) )  <->  ( F  C_  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) ) )
7170rspcev 3016 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) ) ) )  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  (
( nei `  J
) `  { A } ) ) ) ) ) ) )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) )
7251, 61, 66, 71syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  ( J  fClus  F ) )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g )
) )
7372ex 424 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
74 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
75 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  g )
)
76 flimtopon 17959 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( J  fLim  g )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  g  e.  ( Fil `  X
) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  g  e.  ( Fil `  X
) ) )
7874, 77mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
79 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
80 simprrl 741 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  F  C_  g
)
81 fclsss2 18012 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  g
)  ->  ( J  fClus  g )  C_  ( J  fClus  F ) )
8278, 79, 80, 81syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  ( J  fClus  g )  C_  ( J  fClus  F ) )
83 flimfcls 18015 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  g )  C_  ( J  fClus  g )
8483, 75sseldi 3310 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  g )
)
8582, 84sseldd 3313 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
g  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) ) ) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F )
)
8685rexlimdvaa 2795 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g
) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8773, 86impbid 184 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  E. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  /\  A  e.  ( J  fLim  g ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   {csn 3778   U.cuni 3979   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ficfi 7377   fBascfbas 16648   filGencfg 16649   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   neicnei 17120   Filcfil 17834    fLim cflim 17923    fClus cfcls 17925
This theorem is referenced by:  uffclsflim  18020  cnpfcfi  18029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-fin 7076  df-fi 7378  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-top 16922  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-fil 17835  df-flim 17928  df-fcls 17930
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