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Theorem fclsnei 17714
Description: Cluster points in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, A    n, F, s    n, J, s    X, s
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem fclsnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 17711 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J ) )
62, 5syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X ) )
7 fclsneii 17712 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  s  e.  F )  ->  (
n  i^i  s )  =/=  (/) )
873expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  /\  s  e.  F ) )  -> 
( n  i^i  s
)  =/=  (/) )
98ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )
109a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) )
116, 10jcad 519 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
12 topontop 16664 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1312ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  J  e.  Top )
14 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  J )
15 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  A  e.  o )
16 opnneip 16856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
18 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  s )  =  ( o  i^i  s ) )
1918neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2019ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  F  ( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2120rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2217, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2322expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2423com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2524ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2625imdistanda 674 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
27 fclsopn 17709 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
2826, 27sylibrd 225 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2911, 28impbid 183 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    i^i cin 3151   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
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