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Theorem fclsnei 17730
Description: Cluster points in terms of neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsnei  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, A    n, F, s    n, J, s    X, s
Allowed substitution hint:    X( n)

Proof of Theorem fclsnei
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21fclselbas 17727 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  U. J )
3 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  X  =  U. J )
54eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  X  <->  A  e.  U. J ) )
62, 5syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A  e.  X ) )
7 fclsneii 17728 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  /\  s  e.  F )  ->  (
n  i^i  s )  =/=  (/) )
873expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
fClus  F )  /\  (
n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  /\  s  e.  F ) )  -> 
( n  i^i  s
)  =/=  (/) )
98ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )
109a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) )
116, 10jcad 519 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
12 topontop 16680 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1312ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  J  e.  Top )
14 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  J )
15 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  ->  A  e.  o )
16 opnneip 16872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J  /\  A  e.  o )  ->  o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
o  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
18 ineq1 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  o  ->  (
n  i^i  s )  =  ( o  i^i  s ) )
1918neeq1d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  o  ->  (
( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2019ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  o  ->  ( A. s  e.  F  ( n  i^i  s
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2120rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( o  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2217, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( o  e.  J  /\  A  e.  o ) )  -> 
( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
2322expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A  e.  o  ->  ( A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2423com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  o  e.  J )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2524ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. n  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/)  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2625imdistanda 674 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  -> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) ) )
27 fclsopn 17725 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
2826, 27sylibrd 225 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) )  ->  A  e.  ( J  fClus  F ) ) )
2911, 28impbid 183 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. n  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) A. s  e.  F  ( n  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    i^i cin 3164   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   neicnei 16850   Filcfil 17556    fClus cfcls 17647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-fcls 17652
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