Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopn Structured version   Unicode version

Theorem fclsopn 18048
 Description: Write the cluster point condition in terms of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopn TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fclsopn
StepHypRef Expression
1 isfcls2 18047 . 2 TopOn
2 filn0 17896 . . . . . 6
32adantl 454 . . . . 5 TopOn
4 r19.2z 3719 . . . . . 6
54ex 425 . . . . 5
63, 5syl 16 . . . 4 TopOn
7 topontop 16993 . . . . . . . . 9 TopOn
87ad2antrr 708 . . . . . . . 8 TopOn
9 filelss 17886 . . . . . . . . . 10
109adantll 696 . . . . . . . . 9 TopOn
11 toponuni 16994 . . . . . . . . . 10 TopOn
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 TopOn
1310, 12sseqtrd 3386 . . . . . . . 8 TopOn
14 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1514clsss3 17125 . . . . . . . 8
168, 13, 15syl2anc 644 . . . . . . 7 TopOn
1716, 12sseqtr4d 3387 . . . . . 6 TopOn
1817sseld 3349 . . . . 5 TopOn
1918rexlimdva 2832 . . . 4 TopOn
206, 19syld 43 . . 3 TopOn
2120pm4.71rd 618 . 2 TopOn
227ad3antrrr 712 . . . . . 6 TopOn
2313adantlr 697 . . . . . 6 TopOn
24 simplr 733 . . . . . . 7 TopOn
2511ad3antrrr 712 . . . . . . 7 TopOn
2624, 25eleqtrd 2514 . . . . . 6 TopOn
2714elcls 17139 . . . . . 6
2822, 23, 26, 27syl3anc 1185 . . . . 5 TopOn
2928ralbidva 2723 . . . 4 TopOn
30 ralcom 2870 . . . . 5
31 r19.21v 2795 . . . . . 6
3231ralbii 2731 . . . . 5
3330, 32bitri 242 . . . 4
3429, 33syl6bb 254 . . 3 TopOn
3534pm5.32da 624 . 2 TopOn
361, 21, 353bitrd 272 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cuni 4017  cfv 5456  (class class class)co 6083  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccl 17084  cfil 17879   cfcls 17970 This theorem is referenced by:  fclsopni  18049  fclselbas  18050  fclsnei  18053  fclsbas  18055  fclsss1  18056  fclsrest  18058  fclscf  18059  isfcf  18068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-fbas 16701  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-fil 17880  df-fcls 17975
 Copyright terms: Public domain W3C validator