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Theorem fclsopn 17725
Description: Write the cluster point condition in terms of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    o, F, s    o, J, s    o, X, s

Proof of Theorem fclsopn
StepHypRef Expression
1 isfcls2 17724 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
2 filn0 17573 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  =/=  (/) )
4 r19.2z 3556 . . . . . 6  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
54ex 423 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
7 topontop 16680 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
87ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
9 filelss 17563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
109adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
11 toponuni 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
1310, 12sseqtrd 3227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
14 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1514clsss3 16812 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  s
)  C_  U. J )
168, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_ 
U. J )
1716, 12sseqtr4d 3228 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_  X )
1817sseld 3192 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
1918rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
206, 19syld 40 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
2120pm4.71rd 616 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  ( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
227ad3antrrr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
2313adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
24 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  X )
2511ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
2624, 25eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  U. J )
2714elcls 16826 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  -> 
( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) )
2822, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2928ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
30 ralcom 2713 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
31 r19.21v 2643 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3330, 32bitri 240 . . . 4  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3429, 33syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3534pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
361, 21, 353bitrd 270 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   clsccl 16771   Filcfil 17556    fClus cfcls 17647
This theorem is referenced by:  fclsopni  17726  fclselbas  17727  fclsnei  17730  fclsbas  17732  fclsss1  17733  fclsrest  17735  fclscf  17736  isfcf  17745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-fbas 17536  df-fil 17557  df-fcls 17652
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