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Theorem fclsopn 17709
Description: Write the cluster point condition in terms of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    o, F, s    o, J, s    o, X, s

Proof of Theorem fclsopn
StepHypRef Expression
1 isfcls2 17708 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
2 filn0 17557 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  =/=  (/) )
4 r19.2z 3543 . . . . . 6  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
54ex 423 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
63, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
7 topontop 16664 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
87ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
9 filelss 17547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
109adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
11 toponuni 16665 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
1310, 12sseqtrd 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
14 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1514clsss3 16796 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  s
)  C_  U. J )
168, 13, 15syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_ 
U. J )
1716, 12sseqtr4d 3215 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_  X )
1817sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
1918rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
206, 19syld 40 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
2120pm4.71rd 616 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  ( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
227ad3antrrr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
2313adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
24 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  X )
2511ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
2624, 25eleqtrd 2359 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  U. J )
2714elcls 16810 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  -> 
( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) )
2822, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2928ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
30 ralcom 2700 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
31 r19.21v 2630 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3330, 32bitri 240 . . . 4  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3429, 33syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3534pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
361, 21, 353bitrd 270 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755   Filcfil 17540    fClus cfcls 17631
This theorem is referenced by:  fclsopni  17710  fclselbas  17711  fclsnei  17714  fclsbas  17716  fclsss1  17717  fclsrest  17719  fclscf  17720  isfcf  17729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-fcls 17636
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