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Theorem fclsopn 18048
Description: Write the cluster point condition in terms of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    o, F, s    o, J, s    o, X, s

Proof of Theorem fclsopn
StepHypRef Expression
1 isfcls2 18047 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
2 filn0 17896 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
32adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  F  =/=  (/) )
4 r19.2z 3719 . . . . . 6  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
)
54ex 425 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) ) )
63, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) )
7 topontop 16993 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
87ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
9 filelss 17886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
109adantll 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_  X )
11 toponuni 16994 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
1310, 12sseqtrd 3386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
14 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1514clsss3 17125 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  s
)  C_  U. J )
168, 13, 15syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_ 
U. J )
1716, 12sseqtr4d 3387 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  (
( cls `  J
) `  s )  C_  X )
1817sseld 3349 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
1918rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( E. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
206, 19syld 43 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  ->  A  e.  X ) )
2120pm4.71rd 618 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  ( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )
) ) )
227ad3antrrr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  J  e.  Top )
2313adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  s  C_ 
U. J )
24 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  X )
2511ad3antrrr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  X  =  U. J )
2624, 25eleqtrd 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  A  e.  U. J )
2714elcls 17139 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  s  C_  U. J  /\  A  e.  U. J )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J
) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  -> 
( o  i^i  s
)  =/=  (/) ) ) )
2822, 23, 26, 27syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  s  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
2928ralbidva 2723 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
30 ralcom 2870 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
31 r19.21v 2795 . . . . . 6  |-  ( A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3231ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  J  A. s  e.  F  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3330, 32bitri 242 . . . 4  |-  ( A. s  e.  F  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  ( o  i^i  s )  =/=  (/) )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) )
3429, 33syl6bb 254 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) )
3534pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. s  e.  F  A  e.  ( ( cls `  J ) `  s ) )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
361, 21, 353bitrd 272 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fClus  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  A. s  e.  F  ( o  i^i  s )  =/=  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   clsccl 17084   Filcfil 17879    fClus cfcls 17970
This theorem is referenced by:  fclsopni  18049  fclselbas  18050  fclsnei  18053  fclsbas  18055  fclsss1  18056  fclsrest  18058  fclscf  18059  isfcf  18068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-fbas 16701  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-fil 17880  df-fcls 17975
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